[3] Podemos fazer um capacitor prensando uma folha de papel, com d=0.4 \mathrm{~mm} de espessura entre as folhas do metal estanho. O papel tem uma constante dielétrica \epsilon=2,8 \epsilon_{0} e conduzirá eletricidade se estiver em um campo elétrico de módulo \quad E_{\text {max }}=5 \times 10^{7} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, isto é, a rigidez dielétrica do papel é exatamente E_{\text {max }}.
a) Determine uma expressão literal, para a área A das placas do capacitor de papel e estanho para que esse possua capacitância C=0,3 \times 10^{-6} \mathrm{~F}.
b) Determine o valor numérico da área do capacitor a partir da expressão obtida no item a).
c) Calcule o valor numérico do potencial máximo que pode ser aplicado, para que o campo elétrico no capacitor não exceda a metade da rigidez dielétrica.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas preenchido com papel de espessura \,d=0{,}4\times10^{-3}\,\mathrm{m} e constante dielétrica \,\epsilon=2{,}8\,\epsilon_{0}. A capacitância desejada é C=0{,}3\times10^{-6}\,\mathrm{F} e a rigidez dielétrica do papel é E_{\text{max}}=5\times10^{7}\,\mathrm{V/m}. Vamos usar a fórmula do capacitor de placas paralelas
C = \frac{\epsilon\,A}{d}
e a relação entre campo e potencial
E = \frac{V}{d}\,.

Passo 2

Isolando a área A na fórmula da capacitância, obtemos
A = \frac{C\,d}{\epsilon}\,.

Passo 3

Substituímos C=0{,}3\times10^{-6}\,\mathrm{F}, d=0{,}4\times10^{-3}\,\mathrm{m} e \epsilon=2{,}8\,\epsilon_{0}=2{,}8\times8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} em
A = \frac{0{,}3\times10^{-6}\times0{,}4\times10^{-3}}{2{,}8\times8{,}85\times10^{-12}}.

Passo 4

Calculando numericamente,
A \approx \frac{1{,}2\times10^{-10}}{24{,}78\times10^{-12}} \approx4{,}8\;\mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Para não exceder metade da rigidez dielétrica, usamos
E = \frac{E_{\text{max}}}{2} = 2{,}5\times10^{7}\,\mathrm{V/m}
e
V_{\max} = E\,d = 2{,}5\times10^{7}\times0{,}4\times10^{-3} =1{,}0\times10^{4}\,\mathrm{V}.

Resposta

a) \displaystyle A=\frac{C\,d}{\epsilon}.
b) A\approx4{,}8\;\mathrm{m^{2}}.
c) V_{\max}\approx1{,}0\times10^{4}\;\mathrm{V}.

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