Um toroide de seção reta circular cujo centro de sua seção reta encontra-se na origem e seu eixo coincide com o eixo z, tem 5000 espiras com \rho_{0}=20 \mathrm{~cm} e a=2 \mathrm{~cm}. Se o toroide é percorrido por uma corrente de 200 mA , determine |\mathbf{H}| em:
(18,9,0) \mathrm{cm}.

Passo 1

O enunciado descreve um toroide de seção circular cujo eixo coincide com o eixo z. Os parâmetros são: número de espiras N=5000, raio médio da “rosca” \rho_{0}=20\text{ cm}, raio da seção a=2\text{ cm} e corrente I=200\text{ mA}. Pede-se o módulo de \mathbf{H} no ponto (x,y,z)=(18,9,0)\text{ cm}. Vamos usar a Lei de Ampère para campo magnético num toroide, que dá
\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=N\,I_{\mathrm{enc}},
e aproveitamos a simetria circular em torno do eixo z.

Passo 2

Convertemos o ponto para coordenadas cilíndricas:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(18\text{ cm})^{2}+(9\text{ cm})^{2}}=\sqrt{405}\text{ cm}\approx20{,}12\text{ cm}.
O toroide existe apenas para \rho_{0}-a\le\rho\le\rho_{0}+a, ou seja, 18\text{ cm}\le\rho\le22\text{ cm}. Como 20{,}12\text{ cm} está nesse intervalo, o ponto está dentro da região preenchida pelas espiras.

Passo 3

Na simetria toroidal, \mathbf{H} é tangencial (sentido \hat\varphi) e uniforme em um círculo de raio \rho. Aplicando Ampère:
H(\rho)\;2\pi\rho \;=\;N\,I.

Passo 4

Isolando H(\rho):
H(\rho)=\frac{N\,I}{2\pi\,\rho}.
Substituímos N=5000, I=200\text{ mA}=0{,}2\text{ A} e \rho=20{,}12\text{ cm}=0{,}2012\text{ m}:

Passo 5

H= \frac{5000\cdot0{,}2}{2\pi\cdot0{,}2012} =\frac{1000}{2\pi\cdot0{,}2012} \approx7{,}9\times10^{2}\;\text{A/m}.

Resposta

|\mathbf{H}|\approx7{,}9\times10^{2}\;\text{A/m}.

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