10ª Calcule \frac{d y}{d x} onde é dado que: y^{3}+\operatorname{sen}(x y)+x^{8}=1. Se possível, encontre a reta tangente à dada curva no ponto ( -1,0 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
y^3 + \sin(xy) + x^8 = 1
e pede a derivada \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita e, se possível, a reta tangente no ponto (-1,0). Para isso vamos aplicar as regras da cadeia e do produto e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
y^3 + \sin(xy) + x^8 = 1
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(y^3) + \frac{d}{dx}(\sin(xy)) + \frac{d}{dx}(x^8) = \frac{d}{dx}(1).
Usando
\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}(\sin(u))=\cos(u)\,u',\quad \frac{d}{dx}(xy)=y + x\frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}(x^8)=8x^7,
obtemos
3y^2\frac{dy}{dx} + \cos(xy)\bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr) + 8x^7 = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dx}, ficamos com
\bigl(3y^2 + x\cos(xy)\bigr)\frac{dy}{dx} + \bigl(y\cos(xy) + 8x^7\bigr) = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}, resulta
\frac{dy}{dx} = -\frac{y\cos(xy) + 8x^7}{3y^2 + x\cos(xy)}.

Passo 4

Verificamos que o ponto (-1,0) está na curva:
0^3 + \sin((-1)\cdot0) + (-1)^8 = 0 + 0 + 1 = 1,
logo pertence à curva.

Passo 5

Para o coeficiente angular no ponto, substituímos x=-1 e y=0 em \frac{dy}{dx}. Como \cos(0)=1,
\frac{dy}{dx}\Big|_{(-1,0)} = -\frac{0\cdot1 + 8(-1)^7}{3\cdot0^2 + (-1)\cdot1} = -\frac{-8}{-1} = -8.

Passo 6

A reta tangente em (-1,0) é dada por
y - 0 = -8\bigl(x - (-1)\bigr)
que simplifica para
y = -8x - 8.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y\cos(xy) + 8x^7}{3y^2 + x\cos(xy)}.
A reta tangente em (-1,0) é y = -8x - 8.

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