7 a Encontre as dimensões de um canteiro retangular, que exigirão a menor quantidade de material para construção de uma cerca. Sabe-se que este canteiro será cercado com uma cerca ao seu redor e dividido ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. A área total do canteiro deve ser de
.
Passo 1
O enunciado pede um canteiro retangular de área fixa de
, cercado por uma cerca ao redor e mais uma cerca interna que o divide ao meio, paralela a um dos lados. Queremos as dimensões que minimizam o comprimento total de cerca. O conteúdo aplicado é otimização de funções com restrição (usando derivadas).
Passo 2
Defina
e
as os lados do retângulo, de modo que
Caso a cerca interna seja paralela ao lado de comprimento
, o total de cerca é
(duas vezes
para as extremidades horizontais, duas vezes
para as extremidades verticais e mais uma cerca interna de comprimento
). Substituindo
, obtemos
Passo 3
Para minimizar
, calcule a derivada e iguale a zero:
Então
Verifica-se que
, logo é mínimo local.
Passo 4
Agora suponha que a cerca interna seja paralela ao lado de comprimento
. O comprimento total fica
(duas vezes
para as verticais, duas vezes
para as horizontais e mais uma cerca interna de comprimento
). Substituindo
, vem
Passo 5
Minimizando
:
Então
E
, confirmando mínimo local.
Passo 6
Ambos os casos dão comprimento mínimo igual a
As dimensões ótimas são as mesmas, apenas trocando
e
.
Resposta
As dimensões que minimizam o material são
e
.