7 a Encontre as dimensões de um canteiro retangular, que exigirão a menor quantidade de material para construção de uma cerca. Sabe-se que este canteiro será cercado com uma cerca ao seu redor e dividido ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. A área total do canteiro deve ser de 24 \mathrm{~m}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede um canteiro retangular de área fixa de 24\\ \mathrm{m}^2, cercado por uma cerca ao redor e mais uma cerca interna que o divide ao meio, paralela a um dos lados. Queremos as dimensões que minimizam o comprimento total de cerca. O conteúdo aplicado é otimização de funções com restrição (usando derivadas).

Passo 2

Defina x e y as os lados do retângulo, de modo que
xy = 24.
Caso a cerca interna seja paralela ao lado de comprimento y, o total de cerca é
C_1 = 2x + 3y
(duas vezes x para as extremidades horizontais, duas vezes y para as extremidades verticais e mais uma cerca interna de comprimento y). Substituindo y = 24/x, obtemos
C_1(x) = 2x + \frac{72}{x}.

Passo 3

Para minimizar C_1(x), calcule a derivada e iguale a zero:
C_1'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad x = 6\\ (\text{escolhemos }x>0).
Então
y = \frac{24}{x} = \frac{24}{6} = 4.
Verifica-se que C_1''(6)= \tfrac{144}{6^3}>0, logo é mínimo local.

Passo 4

Agora suponha que a cerca interna seja paralela ao lado de comprimento x. O comprimento total fica
C_2 = 3x + 2y
(duas vezes y para as verticais, duas vezes x para as horizontais e mais uma cerca interna de comprimento x). Substituindo y = 24/x, vem
C_2(x) = 3x + \frac{48}{x}.

Passo 5

Minimizando C_2(x):
C_2'(x) = 3 - \frac{48}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.
Então
y = \frac{24}{4} = 6.
E C_2''(4)= \tfrac{96}{4^3}>0, confirmando mínimo local.

Passo 6

Ambos os casos dão comprimento mínimo igual a
C_1(6)=2\cdot6+3\cdot4=24, \quad C_2(4)=3\cdot4+2\cdot6=24.
As dimensões ótimas são as mesmas, apenas trocando x e y.

Resposta

As dimensões que minimizam o material são 6\\ \mathrm{m} e 4\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados