6 a Encontre, utilizando os conceitos de Cálculo I, o(s) ponto(s) da curva
que está(ão) mais próximo(s) da origem.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da curva
que ficam mais próximos da origem
.
Conteúdo: otimização de função de uma variável usando derivadas (parte de Cálculo I).
Vamos minimizar a distância da origem ao ponto sobre essa curva.
Conteúdo: otimização de função de uma variável usando derivadas (parte de Cálculo I).
Vamos minimizar a distância da origem ao ponto
Passo 2
Em vez de minimizar a distância
, é mais prático minimizar o quadrado da distância, pois a raiz não altera o ponto onde ocorre o mínimo. Definimos
e, usando
, obtemos
válido para
.
Passo 3
Para encontrar extremos de
, computamos a derivada e igualamos a zero:
Logo a condição de critério estacionário é
Passo 4
Resolvendo
Como
, temos
Passo 5
Para confirmar que esses pontos são mínimos, observamos a segunda derivada:
que é sempre positiva para
. Portanto, cada
realmente dá um mínimo de
.
Passo 6
Finalmente, obtemos a coordenada
em cada
:
Note que o sinal de
é positivo, pois
.
Resposta
Os pontos da curva mais próximos da origem são