6 a Encontre, utilizando os conceitos de Cálculo I, o(s) ponto(s) da curva y=\frac{4}{x^{2}} que está(ão) mais próximo(s) da origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = \frac{4}{x^{2}}
que ficam mais próximos da origem (0,0).
Conteúdo: otimização de função de uma variável usando derivadas (parte de Cálculo I).
Vamos minimizar a distância da origem ao ponto (x,y) sobre essa curva.

Passo 2

Em vez de minimizar a distância
\sqrt{x^{2} + y^{2}}, é mais prático minimizar o quadrado da distância, pois a raiz não altera o ponto onde ocorre o mínimo. Definimos
D^{2}(x) = x^{2} + y^{2}
e, usando y = 4/x^{2}, obtemos
D^{2}(x) = x^{2} + \biggl(\frac{4}{x^{2}}\biggr)^{2} = x^{2} + \frac{16}{x^{4}},
válido para x\neq0.

Passo 3

Para encontrar extremos de D^{2}(x), computamos a derivada e igualamos a zero:
\frac{d}{dx}D^{2}(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(x^{2} + 16\,x^{-4}\Bigr) = 2x - 64\,x^{-5}.
Logo a condição de critério estacionário é
2x - \frac{64}{x^{5}} = 0.

Passo 4

Resolvendo
2x = \frac{64}{x^{5}} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{6} = 64 \quad\Longrightarrow\quad x^{6} = 32 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 32^{1/6}.
Como 32 = 2^{5}, temos
x = \pm 2^{5/6}.

Passo 5

Para confirmar que esses pontos são mínimos, observamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}D^{2}(x) = 2 + 320\,x^{-6},
que é sempre positiva para x\neq0. Portanto, cada x = \pm 2^{5/6} realmente dá um mínimo de D^{2}.

Passo 6

Finalmente, obtemos a coordenada y em cada x:
y = \frac{4}{x^{2}} = \frac{4}{\bigl(2^{5/6}\bigr)^{2}} = \frac{4}{2^{5/3}} = 2^{2 - 5/3} = 2^{1/3}.
Note que o sinal de y é positivo, pois 4/x^{2}>0.

Resposta

Os pontos da curva mais próximos da origem são
\bigl(2^{5/6},\,2^{1/3}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(-2^{5/6},\,2^{1/3}\bigr).

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