11^{\text {a }} Calcule \frac{d y}{d x} onde é dado que: y^{3}+x^{2} \ln y+\operatorname{tg}\left(x^{4}+4 x\right)=1. Se possível, encontre a reta tangente à dada curva no ponto ( 0,1 ).
Passo 1
O enunciado nos dá a curva implícita
y^3 + x^2 \ln y + \tan\bigl(x^4 + 4x\bigr) = 1
e pede para calcular \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita e, se possível, obter a reta tangente no ponto (0,1). Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\,\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(x^2\ln y\bigr)=2x\ln y + x^2\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}\bigl[\tan(x^4+4x)\bigr]=\operatorname{sec}^2(x^4+4x)\,(4x^3+4).
Como o lado direito é constante igual a 1, sua derivada é zero. Logo a soma das derivadas é zero.
Passo 3
Agrupando os termos que contêm \tfrac{dy}{dx} e passando o resto para o outro lado, temos
3y^2\frac{dy}{dx} \;+\;\frac{x^2}{y}\frac{dy}{dx} =-2x\ln y \;-\;(4x^3+4)\operatorname{sec}^2(x^4+4x).
Isolando \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{-2x\ln y \;-\;(4x^3+4)\operatorname{sec}^2(x^4+4x)} {3y^2+\frac{x^2}{y}}.
Passo 4
Para encontrar o coeficiente angular no ponto (0,1), substituímos x=0 e y=1: \ln1=0 e \operatorname{sec}^2(0)=1. Assim,
y-1 = -\frac{4}{3}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y = 1 - \frac{4}{3}x.
Resposta
\frac{dy}{dx} =\frac{-2x\ln y \;-\;(4x^3+4)\operatorname{sec}^2(x^4+4x)} {3y^2+\frac{x^2}{y}}, \qquad \text{reta tangente em }(0,1)\colon\;y=1-\frac{4}{3}x.