12{ }^{\text {a }} Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou pequena adaptação da regra da cadeia:
  1. \int \frac{e^{2 x}+4}{e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{2x}+4}{e^{x}}\,dx
usando integrais elementares e propriedades de exponenciais. Vamos precisar simplificar o integrando e depois aplicar as integrais básicas de e^{x} e e^{-x}.

Passo 2

Primeiro, usamos a propriedade de que \frac{e^{2x}}{e^{x}}=e^{2x-x}=e^{x}. Assim,
\frac{e^{2x}+4}{e^{x}} \;=\; e^{x} \;+\; 4\,e^{-x}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
Para \int e^{x}\,dx, sabemos que
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_{1}.
Para \int 4\,e^{-x}\,dx, fazemos uma pequena adaptação da regra da cadeia:
\int 4\,e^{-x}\,dx = 4 \int e^{-x}\,dx = 4\,(-e^{-x}) + C_{2} = -4\,e^{-x} + C_{2}.

Passo 4

Somando as duas partes e agrupando as constantes numa única C, obtemos
\int \frac{e^{2x}+4}{e^{x}}\,dx = e^{x} - 4\,e^{-x} + C.

Resposta

e^{x} - 4\,e^{-x} + C

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