[13.3] Encontre os vetores T, N e B, no ponto indicado.
O vetor binormal B é definido por B=T times N.
[47] r(t)=lang<= t^2, 23 t^3, trang<= ;(1, 23, 1)

Passo 1

O exercício fornece a curva r(t)=lang<= t^2,tfrac23t^3,trang<= e pede os vetores de Frenet no ponto (1,tfrac23,1). Estamos no conteúdo de vetores unitários de Frenet: o vetor tangente unitário T=dfrac r'| r'|, o vetor normal principal N na direção de T' (ou da componente normal da aceleração) e o binormal B= Ttimes N.

Passo 2

Calculamos primeiro r'(t) e a velocidade em t=1:
r'(t)=lang<= 2t,,2t^2,,1rang<=
Em t=1 fica
r'(1)=lang<= 2,2,1rang<=, | r'(1)|=raiz2^2+2^2+1^2=3
Logo o vetor tangente unitário é
T(1)=13lang<= 2,2,1rang<==lang<=tfrac23,tfrac23,tfrac13rang<=

Passo 3

Para achar N(1) usamos a componente normal da aceleração. Primeiro a segunda derivada:
r''(t)=lang<= 2,,4t,,0rang<=
Em t=1 temos r''(1)=lang<=2,4,0rang<=. Projetamos em T(1):
proj T r''=igl( r''cdot Tr) T =4,lang<=tfrac23,tfrac23,tfrac13rang<= =lang<=tfrac83,tfrac83,tfrac43rang<= 
A componente normal é
r''perp= r''(1)-proj T r'' =lang<=2,4,0rang<=-lang<=tfrac83,tfrac83,tfrac43rang<= =lang<=-tfrac23,tfrac43,-tfrac43rang<=
Como | r''perp|=2, normalizamos:
N(1)=12lang<=-tfrac23,tfrac43,-tfrac43rang<= =lang<=-tfrac13,tfrac23,-tfrac23rang<=

Passo 4

Finalmente o binormal é o produto vetorial:
B(1)= T(1)times N(1) =lang<=-tfrac23,tfrac13,tfrac23rang<=
(verificação: módulo 1 e ortogonalidade garantida).

Resposta

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