(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x infty x^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinfty x^x. Esse é um tipo de limite em que tanto a base quanto o expoente crescem sem limite, e vamos usar a técnica de levar a função para a forma exponencial via logaritmo natural.

Passo 2

Escrevemos
x^x = e^ln(x^x) = e^xln x
Assim, estudar limxtoinfty x^x equivale a estudar limxtoinfty xln x.

Passo 3

Sabemos que ln xtoinfty quando xtoinfty, e multiplicando por xtoinfty obtemos
limxtoinfty xln x = infty

Passo 4

Como a função exponencial cresce sem limite quando o expoente vai a infinito, temos
limxtoinfty x^x = limxtoinfty e^xln x = e^infty = infty

Resposta

infty

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