(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x infty(1+4x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(1+4xr)^x
Isso envolve limites do tipo exponencial infinito e requer o uso da transformação com logaritmo para reescrever a potência em termos de exponencial.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1+4xr)^x
Para facilitar, consideramos o logaritmo de L:
ln L = limxtoinfty x ,lnl(1+4xr)

Passo 3

Analisamos o limite do expoente usando a forma ln(1+u)sim u quando uto0:
em u=tfrac4x temos uto0 quando xtoinfty, logo
x,lnl(1+4xr)sim xcdot4x=4
Mais rigorosamente, podemos escrever
limxtoinftyx,lnl(1+4xr) =limxtoinftylnl(1+tfrac4xr)tfrac1x =4
por ser do tipo 0/0 e usar o limite fundamental limuto0ln(1+u)/u=1.

Passo 4

Como ln L=4, segue
L = e^ln L = e^4

Resposta

limxtoinftyl(1+4xr)^x=e^4

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