Nos exercícios 1 a 4 , determine r^prime(t).
r(t)=(4+5 t) i+(t-t^2) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de um vetor em relação a t . O enunciado nos dá a função vetorial r(t) = (4 + 5t)i + (t - t^2)j . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas de funções vetoriais. Precisamos derivar cada componente da função em relação a t .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Então, se r(t) = x(t)i + y(t)j , então r^prime(t) = x^prime(t)i + y^prime(t)j .

Passo 3

Vamos então identificar as componentes x(t) e y(t) da nossa função r(t) :
  • x(t) = 4 + 5t
  • y(t) = t - t^2

Passo 4

Agora, vamos derivar cada componente em relação a t :
  • Para x(t) = 4 + 5t , a derivada x^prime(t) é 5 , porque a derivada de uma constante é zero e a derivada de 5t é 5 .
  • Para y(t) = t - t^2 , a derivada y^prime(t) é 1 - 2t , já que a derivada de t é 1 e a derivada de t^2 é 2t .

Passo 5

Finalmente, juntamos as derivadas das componentes para obter r^prime(t) :
r^prime(t) = 5i + (1 - 2t)j

Resposta

A derivada da função vetorial é r^prime(t) = 5,i + (1 - 2t),j .

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