(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite limxtoinftyl(1-tfrac3xr)^2x. O conteúdo aqui é limites do tipo (1 + a/x)^bx, que a gente resolve usando a propriedade de limites exponenciais ou aplicando logaritmo natural.

Passo 2

Definimos y = l(1 - tfrac3xr)^2x e, para simplificar, vamos calcular ln y:
ln y = 2x,lnl(1 - tfrac3xr)

Passo 3

Usamos a expansão em série para ln(1+u) quando uto0: ln(1+u)=u - u^2/2 + o(u^2). Aqui u=-3/x, logo:
lnl(1 - tfrac3xr) = -3x - 12l(-3xr)^2 + o(1/x^2) = -3x - 92x^2 + o(1/x^2)
Multiplicando por 2x:
2x,lnl(1 - tfrac3xr) = -6 - 9x + o(1/x)
Portanto limxtoinftyln y = -6.

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, a gente conclui:
limxtoinfty y = expl(limxtoinfty ln yr) = e^-6

Resposta

e^{-6}

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