(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto -inftyl(x+2x+1r)^x. O conteúdo envolve limites do tipo 1^infty e vamos usar a técnica de transformar a expressão em expoente envolvendo logaritmo para chegar a uma forma que conhecemos (o número e).

Passo 2

Observamos que, quando xto -infty, a base
x+2x+1=1+1x+1
tende a 1, enquanto o expoente x tende a -infty. Isso gera uma forma indeterminada do tipo 1^infty.

Passo 3

Para tratar essa indeterminação, definimos
L=limxto -inftyl(x+2x+1r)^x
Tomamos o logaritmo natural:
ln L=limxto -inftyxlnl(1+1x+1r)

Passo 4

Usamos a expansão em série para ln(1+u) quando uto0:
lnl(1+1x+1r)=1x+1-12(x+1)^2+ol(1(x+1)^2r)
Multiplicando por x e analisando o limite, temos
xcdot1x+1=xx+1to1,
e
xcdot1(x+1)^2=x(x+1)^2to0
Logo,
ln L=1

Passo 5

Como ln L=1, obtemos L=exp(1)=e. Portanto,

Resposta

e

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