(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0^+ e^1 / x ln (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0^+ e^1/x,ln(x)
Aqui temos uma indeterminação do tipo “ +inftycdot(-infty)”, pois quando xto0^+ temos e^1/xto+infty e ln(x)to-infty. Para resolver, vamos usar a substituição t = 1/x, que transforma o comportamento em tto+infty.

Passo 2

Definindo t = 1/x, então x = 1/t. Quando xto0^+, de fato tto+infty. Vamos reescrever cada parte em função de t:
  • e^1/x = e^t.
  • ln(x) = lnl(1/tr) = -ln(t).

Passo 3

Substituindo na expressão original,
e^1/x,ln(x) = e^t,l(-ln(t)r) = -,e^t,ln(t)

Passo 4

Agora analisamos
-,e^t,ln(t) quando tto+infty
Sabemos que o crescimento da função exponencial e^t domina qualquer crescimento logarítmico ln(t). Assim, e^t,ln(t)to+infty, e com o sinal negativo à frente,
-,e^t,ln(t);longrightarrow;-infty

Resposta

limxto0^+ e^1/x,ln(x) = -infty

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