Nos exercícios 1 a 4 , determine r^prime(t).
r(t)=arctg t i+t cos t j-raizt k

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função vetorial r(t)=arctan t,i+tcos t,j-raizt,k. Isso envolve diferenciar cada componente usando regras como derivada de arctan t, produto e cadeia.

Passo 2

Para a componente i: a função é arctan t. Sabemos que
ddtl(arctan tr)=11+t^2
Logo, a derivada da primeira componente é 11+t^2,i.

Passo 3

Para a componente j: a função é tcos t. Usamos a regra do produto ( (fg)'=f'g+fg'). Aqui f(t)=t e g(t)=cos t, então
ddt(tcos t)=1cdotcos t + tcdot(-sin t)=cos t - tsin t
Portanto a segunda componente é (cos t - tsin t),j.

Passo 4

Para a componente k: a função é -raizt=-t^1/2. Pela regra da cadeia,
ddt(-t^1/2)=-tfrac12t^-1/2=-12raizt
Logo vem -tfrac12raizt,k.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a derivada vetor:
r'(t)=11+t^2,i + (cos t - tsin t),j - 12raizt,k

Resposta

r'(t)=11+t^2,i + (cos t - tsin t),j - 12raizt,k

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