(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x +infty(x-4x-1)^x+3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(x-4x-1r)^x+3
Esse tipo de expressão é do tipo 1^infty, e vamos usar a técnica de escrever a base como 1+u(x) com u(x)to0 e depois usar a forma canônica
l(1+u(x)r)^v(x)approx e^u(x),v(x)
quando u(x)to0 e v(x)to+infty.

Passo 2

Reescrevemos a base como uma expressão da forma 1+cdots. Note que
x-4x-1 =1-3x-1
Logo definimos
u(x)=-3x-1,
que satisfaz u(x)to0 quando xto+infty.

Passo 3

Observe que o expoente x+3 pode ser decomposto em
x+3=(x-1)+4
Isso nos permite separar
l(1+u(x)r)^x+3 =l(1+u(x)r)^,x-1,l(1+u(x)r)^4

Passo 4

Agora avaliamos o limite de cada fator:
  1. Para o primeiro fator, como u(x)to0 e x-1to+infty, temos
limxto+inftyl(1+u(x)r)^,x-1 =limxto+inftyl(1-tfrac3x-1r)^x-1 =e^-3
  1. Para o segundo fator, como u(x)to0,
limxto+inftyl(1+u(x)r)^4 =l(1+0r)^4=1
Multiplicando ambos os resultados, o limite total é e^-3times1.

Resposta

e^-3

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