(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo principal é limites envolvendo formas do tipo
, e vamos precisar usar a transformação via exponencial e logaritmo para tratar essa indeterminação.
Passo 2
Vamos escrever a expressão como uma exponencial. Se definirmos
, então
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onde precisamos calcular o limite do expoente. Para isso, analisamos a função .
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onde precisamos calcular o limite do expoente. Para isso, analisamos a função
Passo 3
Para desenvolver
e
para grandes
, usamos o desenvolvimento em série de Taylor para
com
pequeno:
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com isso, temos
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com isso, temos
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Passo 4
Somando as frações dentro dos colchetes:
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Passo 5
Multiplicando por
e tomando o limite quando
obtemos
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Passo 6
Logo, o limite do expoente é
. Portanto, voltando à expressão original,
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