(10) Calcule os seguintes limites, caso existam:
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(x^2+1x^2-3r)^x^2. O conteúdo principal é limites envolvendo formas do tipo 1^infty, e vamos precisar usar a transformação via exponencial e logaritmo para tratar essa indeterminação.

Passo 2

Vamos escrever a expressão como uma exponencial. Se definirmos L=limxto+inftyl(tfracx^2+1x^2-3r)^x^2, então
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onde precisamos calcular o limite do expoente. Para isso, analisamos a função f(x)=x^2l[ln(x^2+1)-ln(x^2-3)r].

Passo 3

Para desenvolver ln(x^2+1) e ln(x^2-3) para grandes x, usamos o desenvolvimento em série de Taylor para ln(1+u) com u pequeno:
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com isso, temos
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Passo 4

Somando as frações dentro dos colchetes:
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Passo 5

Multiplicando por x^2 e tomando o limite quando xto+infty obtemos
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Passo 6

Logo, o limite do expoente é 4. Portanto, voltando à expressão original,
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Resposta

e^4

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