[10] Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações dadas e observações imediatas: a variável é x e ela tende para -\infty. A expressão é uma base \left(1-\dfrac{1}{x}\right) elevada à potência x. Não temos mais dados além disso.

Passo 2

Primeira observação técnica (pra ficar tranquilo): para x muito negativo, \dfrac{1}{x} é um número negativo pequeno em módulo, então
1-\frac{1}{x}>1
quando x é muito negativo. Ou seja, a base é positiva e maior que 1, então a potência está bem definida sem problemas de sinal estranhos.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável simples para trabalhar com um parâmetro que vai para +\infty. Defina
y=-x.
Como x\to -\infty, segue que y\to +\infty. Substituindo x=-y na expressão:
\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}=\left(1-\frac{1}{-y}\right)^{-y}=\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-y}.
Agora escrevemos essa quantidade como o inverso de uma expressão mais familiar:
\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-y}=\left[\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{-1}.

Passo 4

Aqui entra um limite clássico que você deve guardar: a sequência (ou função) \left(1+\dfrac{1}{y}\right)^{y} converge para e quando y\to+\infty. Vou provar isso de forma didática usando logaritmo natural, que é a técnica padrão para essas potências onde a base tende a 1 e o expoente cresce.
Defina
L=\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}.
Se existir L>0, então tomando logaritmo natural temos
\ln L=\lim_{y\to+\infty} y\ln\!\left(1+\frac{1}{y}\right).
Para estudar o limite à direita, faça a substituição t=\dfrac{1}{y}. Quando y\to+\infty temos t\to 0^+. Reescrevendo:
y\ln\!\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Agora estudamos
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}.
Isso é um caso clássico de forma indeterminada 0/0. Aplicando a Regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a t) obtemos:
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{\dfrac{1}{1+t}}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Portanto \ln L=1, o que implica L=e. Assim concluímos que
\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}=e.

Passo 5

Voltando ao nosso limite original, lembramos que ele foi escrito como o inverso dessa expressão:
\lim_{x\to -\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x} =\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-y} =\left(\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right)^{-1}.
Usando o resultado do passo anterior:
\left(\lim_{y\to+\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right)^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}.

Resposta

\dfrac{1}{e}

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