[10] Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas: a variável é
e ela tende para
. A expressão é uma base
elevada à potência
. Não temos mais dados além disso.
Passo 2
Primeira observação técnica (pra ficar tranquilo): para
muito negativo,
é um número negativo pequeno em módulo, então
quando
é muito negativo. Ou seja, a base é positiva e maior que
, então a potência está bem definida sem problemas de sinal estranhos.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável simples para trabalhar com um parâmetro que vai para
. Defina
Como
, segue que
. Substituindo
na expressão:
Agora escrevemos essa quantidade como o inverso de uma expressão mais familiar:
Passo 4
Aqui entra um limite clássico que você deve guardar: a sequência (ou função)
converge para
quando
. Vou provar isso de forma didática usando logaritmo natural, que é a técnica padrão para essas potências onde a base tende a
e o expoente cresce.
Defina
Se existir
, então tomando logaritmo natural temos
Para estudar o limite à direita, faça a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo:
Agora estudamos
Isso é um caso clássico de forma indeterminada
. Aplicando a Regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a
) obtemos:
Portanto
, o que implica
. Assim concluímos que
Passo 5
Voltando ao nosso limite original, lembramos que ele foi escrito como o inverso dessa expressão:
Usando o resultado do passo anterior: