Verifique se as seguintes funções são contínuas:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua, sendo dada por
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão da função:
. - Não foi dada um domínio explícito, então devemos verificar a continuidade no domínio natural da função (se existir algum restrição).
Passo 2
O que significa “verificar continuidade” aqui (definição que vou usar): uma função
é contínua num ponto
se
Se isso vale para todo ponto
do domínio, dizemos que
é contínua em todo o seu domínio. Minha meta é mostrar que
é contínua para todo
real (ou dizer onde não é, se houver problema).
Passo 3
Vamos reescrever
numa forma explícita que facilita estudar continuidade. A função inversa da seno hiperbólico (arcsinh) tem a expressão fechada
Explico por que essa expressão está bem definida para todo
:
- Dentro da raiz temos
, que é sempre , logo está bem definido para todo . - O argumento do
é . Note que ? Mais precisamente, e como temos quando ; mesmo para obtemos . Então sempre . Portanto o argumento do log é positivo para todo , e está definido para todo .
Conclusão desta etapa:
é uma função bem definida em todo
.
Passo 4
Agora eu uso propriedades de continuidade de funções elementares e composição:
- A função
é polinomial, portanto contínua em todo . - A função
é contínua para . Como , compor dá continuidade de para todo . - A soma
é soma de funções contínuas, logo contínua para todo . - A função
é contínua em . Como para todo , a composição é contínua para todo .
Portanto
é contínua para todo
.
Passo 5
Voltando à nossa função
: isto é composição de duas funções:
- A função
é polinomial (linear), logo contínua para todo . - Pelo Passo 4,
é contínua para todo argumento real.
A composição de funções contínuas é contínua. Logoé contínua para todo .
Passo 6
Como extra (opcional, mas útil na prova): podemos também mostrar que
é diferenciável (portanto contínua) calculando a derivada por regra da cadeia. Sabendo que
, para
temos
Essa expressão existe para todo
, confirmando que
é diferenciável (e portanto contínua) em todo
.
Resposta
A função
é contínua para todo
.