Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)=\operatorname{argsenh}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f é contínua, sendo dada por
f(x)=\operatorname{argsenh}(2x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão da função: \operatorname{argsenh}(2x).
  • Não foi dada um domínio explícito, então devemos verificar a continuidade no domínio natural da função (se existir algum restrição).

Passo 2

O que significa “verificar continuidade” aqui (definição que vou usar): uma função f é contínua num ponto a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se isso vale para todo ponto a do domínio, dizemos que f é contínua em todo o seu domínio. Minha meta é mostrar que \operatorname{argsenh}(2x) é contínua para todo x real (ou dizer onde não é, se houver problema).

Passo 3

Vamos reescrever \operatorname{argsenh} numa forma explícita que facilita estudar continuidade. A função inversa da seno hiperbólico (arcsinh) tem a expressão fechada
\operatorname{argsenh}(y)=\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^{2}+1}\bigr).
Explico por que essa expressão está bem definida para todo y\in\mathbb{R}:
  • Dentro da raiz temos y^{2}+1, que é sempre \ge 1, logo \sqrt{y^{2}+1} está bem definido para todo y.
  • O argumento do \ln é y+\sqrt{y^{2}+1}. Note que \sqrt{y^{2}+1}>|y|? Mais precisamente, \sqrt{y^{2}+1}\ge |y| e como y^{2}+1>y^{2} temos \sqrt{y^{2}+1}>|y| quando y\neq 0; mesmo para y=0 obtemos 0+\sqrt{0+1}=1>0. Então sempre y+\sqrt{y^{2}+1}>0. Portanto o argumento do log é positivo para todo y, e \operatorname{argsenh}(y) está definido para todo y\in\mathbb{R}.
Conclusão desta etapa: \operatorname{argsenh} é uma função bem definida em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Agora eu uso propriedades de continuidade de funções elementares e composição:
  • A função y\mapsto y^{2}+1 é polinomial, portanto contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Como y^{2}+1\ge 1, compor dá continuidade de y\mapsto \sqrt{y^{2}+1} para todo y.
  • A soma y\mapsto y+\sqrt{y^{2}+1} é soma de funções contínuas, logo contínua para todo y.
  • A função \ln é contínua em (0,\infty). Como y+\sqrt{y^{2}+1}>0 para todo y, a composição \ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+1}\bigr) é contínua para todo y.
Portanto \operatorname{argsenh}(y)=\ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+1}\bigr) é contínua para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Voltando à nossa função f(x)=\operatorname{argsenh}(2x): isto é composição de duas funções:
x \mapsto 2x \quad\text{e}\quad y \mapsto \operatorname{argsenh}(y).
  • A função x\mapsto 2x é polinomial (linear), logo contínua para todo x.
  • Pelo Passo 4, \operatorname{argsenh} é contínua para todo argumento real.
    A composição de funções contínuas é contínua. Logo f(x)=\operatorname{argsenh}(2x) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Como extra (opcional, mas útil na prova): podemos também mostrar que f é diferenciável (portanto contínua) calculando a derivada por regra da cadeia. Sabendo que \dfrac{d}{dy}\operatorname{argsenh}(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}, para u(x)=2x temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{argsenh}(2x)=\operatorname{argsenh}'(2x)\cdot 2=\frac{2}{\sqrt{1+(2x)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1+4x^{2}}}.
Essa expressão existe para todo x, confirmando que f é diferenciável (e portanto contínua) em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função f(x)=\operatorname{argsenh}(2x) é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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