[10] Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^{x+4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^{x+4}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x vai para +\infty.
  • A expressão é \left(1-\dfrac{4}{x}\right)^{x+4}.
  • Para x>4 a base 1-\dfrac{4}{x} é positiva, então a potência está bem definida como número positivo para x grande.
    O objetivo é calcular o limite numérico dessa expressão quando x\to+\infty.

Passo 2

Estratégia de cálculo (começando a resolução): é conveniente trabalhar com o logaritmo natural, porque o expoente envolve x e isso transforma potência em produto — fica mais fácil analisar. Definimos
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^{x+4}.
Se o limite existir e for positivo, podemos tomar logaritmo natural e obter
\ln L=\lim_{x\to+\infty}(x+4)\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right).
Justificativa rápida: para x grande a base é positiva, e a função \ln é contínua em (0,\infty), então calcular \ln L e depois aplicar exponencial devolve L.

Passo 3

Separe o produto em duas parcelas para simplificar:
(x+4)\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) = x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) \;+\; 4\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right).
Irei calcular os limites das duas parcelas separadamente quando x\to+\infty.

Passo 4

Cálculo do primeiro termo \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right).
Usamos o fato fundamental sobre logaritmo em pequena variação: para u\to 0 vale
\ln(1+u)=u+o(u),
ou seja, \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Aqui tome u=-\dfrac{4}{x}, que tende a 0 quando x\to+\infty. Então
\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) = \left(-\frac{4}{x}\right)\left(1+\varepsilon(x)\right),
onde \varepsilon(x)\to0 quando x\to+\infty. Multiplicando por x obtemos
x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) = x\left(-\frac{4}{x}\right)\left(1+\varepsilon(x)\right) = -4\bigl(1+\varepsilon(x)\bigr).
Fazendo x\to+\infty temos \varepsilon(x)\to0, portanto
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) = -4.

Passo 5

Cálculo do segundo termo \displaystyle \lim_{x\to+\infty} 4\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right).
Usando novamente que \ln(1+u)\sim u para u\to0 com u=-\dfrac{4}{x}, temos
\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right)\sim -\frac{4}{x}.
Multiplicando por 4 obtemos um termo que tende a zero:
\lim_{x\to+\infty}4\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right)=4\cdot 0 = 0.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos, obtemos o limite do logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to+\infty}(x+4)\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) = -4 + 0 = -4.
Aplicando a exponencial para recuperar L:
L = e^{\ln L} = e^{-4}.

Passo 7

Comentário alternativo (útil para decorar a ideia rapidamente na prova): podemos escrever
\left(1-\frac{4}{x}\right)^{x+4} =\left(1-\frac{4}{x}\right)^{x}\cdot\left(1-\frac{4}{x}\right)^{4}.
Sabendo o limite padrão \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}=e^{a} com a=-4, a primeira parte tende a e^{-4} e a segunda tende a 1, dando o mesmo resultado e^{-4}.

Resposta

e^{-4}

Exercícios relacionados