[10] Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
vai para . - A expressão é
. - Para
a base é positiva, então a potência está bem definida como número positivo para grande.
O objetivo é calcular o limite numérico dessa expressão quando.
Passo 2
Estratégia de cálculo (começando a resolução): é conveniente trabalhar com o logaritmo natural, porque o expoente envolve
e isso transforma potência em produto — fica mais fácil analisar. Definimos
Se o limite existir e for positivo, podemos tomar logaritmo natural e obter
Justificativa rápida: para
grande a base é positiva, e a função
é contínua em
, então calcular
e depois aplicar exponencial devolve
.
Passo 3
Separe o produto em duas parcelas para simplificar:
Irei calcular os limites das duas parcelas separadamente quando
.
Passo 4
Cálculo do primeiro termo
.
Usamos o fato fundamental sobre logaritmo em pequena variação: para
vale
ou seja,
. Aqui tome
, que tende a
quando
. Então
onde
quando
. Multiplicando por
obtemos
Fazendo
temos
, portanto
Passo 5
Cálculo do segundo termo
.
Usando novamente que
para
com
, temos
Multiplicando por
obtemos um termo que tende a zero:
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos, obtemos o limite do logaritmo:
Aplicando a exponencial para recuperar
:
Passo 7
Comentário alternativo (útil para decorar a ideia rapidamente na prova): podemos escrever
Sabendo o limite padrão
com
, a primeira parte tende a
e a segunda tende a
, dando o mesmo resultado
.