[14] No problema [51] do capítulo II, foi visto que o custo para remover x \% de resíduos tóxicos num aterro é dado por S(x)=\frac{0.8 x}{100-x}, 0<x<100.
a) Calcule \lim _{x \rightarrow 100^{-}} S(x).
b) Interprete o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
S(x)=\frac{0,8\,x}{100-x},\qquad 0<x<100,
e pede duas coisas:
a) calcular \lim_{x\to100^-} S(x);
b) interpretar o resultado obtido no contexto (custo para remover x\% de resíduos).
As informações relevantes são: a fórmula de S(x) e que x só pode se aproximar de 100 pela esquerda (porque o domínio é x<100).

Passo 2

Explicação do que significa \lim_{x\to100^-} S(x). Como x só pode tomar valores menores que 100, só faz sentido aproximar x de 100 por valores menores — isto é um limite lateral esquerdo. Queremos ver o comportamento de S(x) quando x fica cada vez mais próximo de 100 por valores menores (por exemplo x=99,\,99{,}9, etc.).

Passo 3

Para analisar o comportamento quando x\to100^- é útil mudar de variável para quantificar o “quão perto” de 100 estamos. Defina
h=100-x.
Como x\to100^-, temos h\to0^+ (isto é, h é um número positivo que tende a zero). Substituindo x=100-h em S(x) obtemos:
S(x)=\frac{0,8(100-h)}{h}.

Passo 4

Agora desenvolvemos essa expressão passo a passo:
S(x)=\frac{0,8(100-h)}{h}=\frac{80-0,8h}{h}=\frac{80}{h}-0,8.
Aqui eu só distribui o 0,8 e separei a fração em duas parcelas. Note que h>0.

Passo 5

Estudo do limite usando a forma obtida. Quando h\to0^+ a parcela \dfrac{80}{h} cresce sem limite superior (porque dividir um número fixo positivo por um número positivo que vai a zero dá um valor que tende a +\infty). Portanto
\frac{80}{h}\to+\infty\quad\text{quando}\quad h\to0^+,
e assim
S(x)=\frac{80}{h}-0,8\to+\infty-0,8=+\infty.
Logo o limite é +\infty.

Passo 6

Um jeito numérico rápido para fixar a intuição: calcule S(x) para alguns x próximos de 100:
S(99)=\frac{0,8\cdot99}{1}=79{,}2,
S(99{,}9)=\frac{0,8\cdot99{,}9}{0{,}1}= \frac{79{,}92}{0{,}1}=799{,}2,
S(99{,}99)=\frac{0,8\cdot99{,}99}{0{,}01}=7992.
Vê como o custo explode quando nos aproximamos de 100\%.

Passo 7

Interpretação prática e gráfica (resumida): a função tem uma assíntota vertical em x=100. O fato de o limite ser +\infty significa que o custo para remover uma quantidade cada vez maior de resíduos cresce sem limite; tentar chegar a 100\% de remoção exigiria custo arbitrariamente grande — na prática, remover todos os resíduos ( 100\%) exigiria custo infinito, ou seja, é impossível com custo finito. Portanto os últimos pontos percentuais de remoção são extremamente caros (retornos decrescentes).

Resposta

a) \displaystyle \lim_{x\to100^-}S(x)=+\infty
b) O custo cresce sem limite quando x se aproxima de 100\%; remover 100\% de resíduos exigiria custo infinito, logo os últimos aumentos percentuais de remoção ficam cada vez mais caros.

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