[14] No problema [51] do capítulo II, foi visto que o custo para remover
de resíduos tóxicos num aterro é dado por
.
a) Calcule
.
b) Interprete o resultado obtido.
a) Calcule
b) Interprete o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede duas coisas:
a) calcular ;
b) interpretar o resultado obtido no contexto (custo para remover de resíduos).
a) calcular
b) interpretar o resultado obtido no contexto (custo para remover
As informações relevantes são: a fórmula de
e que
só pode se aproximar de
pela esquerda (porque o domínio é
).
Passo 2
Explicação do que significa
. Como
só pode tomar valores menores que
, só faz sentido aproximar
de
por valores menores — isto é um limite lateral esquerdo. Queremos ver o comportamento de
quando
fica cada vez mais próximo de
por valores menores (por exemplo
etc.).
Passo 3
Para analisar o comportamento quando
é útil mudar de variável para quantificar o “quão perto” de
estamos. Defina
Como
, temos
(isto é,
é um número positivo que tende a zero). Substituindo
em
obtemos:
Passo 4
Agora desenvolvemos essa expressão passo a passo:
Aqui eu só distribui o
e separei a fração em duas parcelas. Note que
.
Passo 5
Estudo do limite usando a forma obtida. Quando
a parcela
cresce sem limite superior (porque dividir um número fixo positivo por um número positivo que vai a zero dá um valor que tende a
). Portanto
e assim
Logo o limite é
.
Passo 6
Um jeito numérico rápido para fixar a intuição: calcule
para alguns
próximos de
:
Vê como o custo explode quando nos aproximamos de
.
Passo 7
Interpretação prática e gráfica (resumida): a função tem uma assíntota vertical em
. O fato de o limite ser
significa que o custo para remover uma quantidade cada vez maior de resíduos cresce sem limite; tentar chegar a
de remoção exigiria custo arbitrariamente grande — na prática, remover todos os resíduos (
) exigiria custo infinito, ou seja, é impossível com custo finito. Portanto os últimos pontos percentuais de remoção são extremamente caros (retornos decrescentes).
Resposta
a)
b) O custo cresce sem limite quando
se aproxima de
; remover
de resíduos exigiria custo infinito, logo os últimos aumentos percentuais de remoção ficam cada vez mais caros.