[10] Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x)=\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x}.
Vamos checar onde f está definida perto de x=0. O fator dentro da potência é
1+\frac{1}{2x}.
Queremos saber quando essa quantidade é positiva (para que o logaritmo e a potência real façam sentido) e quando é negativa ou nula. Resolve-se a desigualdade
1+\frac{1}{2x}>0.
Se x>0 então 2x>0 e a desigualdade é sempre verdadeira, logo para todo x>0 a base é positiva. Se x<0 então ao multiplicar por 2x (negativo) invertemos o sinal e obtemos 1<-2x, i.e. x<-\tfrac{1}{2}. Em resumo:
\text{domínio próximo a 0: } x\in(0,\infty)\\ \cup\\ (-\infty,-\tfrac{1}{2}].íó
Em particular, para x negativos suficientemente próximos de 0 (isto é, para x\in(-\tfrac{1}{2},0)) a base é negativa e f(x) não é definido como número real. Portanto não existe uma vizinhança bilateral de 0 onde f seja real; só faz sentido considerar o limite pela direita x\to 0^+. A resolução seguirá, então, calculando o limite por x\to 0^+.

Passo 2

Técnica útil: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é comum tomar logaritmo para transformar potência em produto. Defina
y=\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x},
para x>0. Tome o logaritmo natural:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right).
Explicar por que isso ajuda: o limite de y é obtido a partir do limite de \ln y porque a função exponencial é contínua — se \ln y\to L então y\to e^{L}. Assim vamos calcular
\lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} x\ln\!\left(1+\frac{1}{2x}\right).

Passo 3

Fazer uma substituição que simplifica a expressão. Seja
t=\frac{1}{2x}.
Quando x\to 0^+ temos t\to +\infty. Reescrevendo \ln y em função de t:
\ln y = x\ln(1+\tfrac{1}{2x}) = \frac{1}{2t}\ln(1+t).
Portanto
\lim_{x\to 0^+}\ln y = \lim_{t\to +\infty}\frac{\ln(1+t)}{2t} = \frac{1}{2}\lim_{t\to +\infty}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{t}. Esta é uma forma \frac{\infty}{\infty}, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a t,
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to+\infty}\frac{\frac{d}{dt}\ln(1+t)}{\frac{d}{dt}t} = \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{1+t}=0.
Intuitivamente: \ln(1+t) cresce muito mais devagar que t, então a razão tende a 0. Assim
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{2t} = \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Logo
\lim_{x\to 0^+}\ln y = 0.

Passo 5

Como \ln y\to 0 quando x\to 0^+, usando continuidade da exponencial obtemos
\lim_{x\to 0^+} y = \lim_{x\to 0^+} e^{\ln y} = e^{0}=1.
Portanto o limite pela direita é 1. Relembre: o limite bilateral \lim_{x\to 0} como limite real de duas direções não existe porque f(x) não está definido como número real para x em (-\tfrac{1}{2},0); assim não há uma vizinhança à esquerda de 0 onde a função seja real.

Resposta

O limite bilateral não existe (a função não está definida em (-{\tfrac{1}{2}},0)).
\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x}=1

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