[10] Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Vamos checar onde
está definida perto de
. O fator dentro da potência é
Queremos saber quando essa quantidade é positiva (para que o logaritmo e a potência real façam sentido) e quando é negativa ou nula. Resolve-se a desigualdade
Se
então
e a desigualdade é sempre verdadeira, logo para todo
a base é positiva. Se
então ao multiplicar por
(negativo) invertemos o sinal e obtemos
, i.e.
. Em resumo:
Em particular, para
negativos suficientemente próximos de
(isto é, para
) a base é negativa e
não é definido como número real. Portanto não existe uma vizinhança bilateral de
onde
seja real; só faz sentido considerar o limite pela direita
. A resolução seguirá, então, calculando o limite por
.
Passo 2
Técnica útil: quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente, é comum tomar logaritmo para transformar potência em produto. Defina
para
. Tome o logaritmo natural:
Explicar por que isso ajuda: o limite de
é obtido a partir do limite de
porque a função exponencial é contínua — se
então
. Assim vamos calcular
Passo 3
Fazer uma substituição que simplifica a expressão. Seja
Quando
temos
. Reescrevendo
em função de
:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Esta é uma forma
, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
,
Intuitivamente:
cresce muito mais devagar que
, então a razão tende a
. Assim
Logo
Passo 5
Como
quando
, usando continuidade da exponencial obtemos
Portanto o limite pela direita é
. Relembre: o limite bilateral
como limite real de duas direções não existe porque
não está definido como número real para
em
; assim não há uma vizinhança à esquerda de
onde a função seja real.
Resposta
O limite bilateral não existe (a função não está definida em
).