[8] Calcule os seguintes limites infinitos:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x^{3}} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x^{3}}\sin(x).
Informações dadas e o que devemos achar:
  1. A expressão contém valor absoluto |x| e potência ímpar x^{3}, portanto o sinal pode mudar dependendo de x>0 ou x<0.
  2. Precisamos avaliar o comportamento quando x se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda, e então decidir o limite quando x\to 0.

Passo 2

Motivação para dividir em casos: como |x| tem definição diferente para x>0 e x<0, é natural estudar as limites laterais. Se as duas limites laterais forem iguais e forem \pm\infty ou um mesmo número finito, esse será o limite quando x\to0.

Passo 3

Caso x>0. Para x>0 temos |x|=x. Substituindo na expressão:
\frac{|x|}{x^{3}}\sin(x)=\frac{x}{x^{3}}\sin(x)=\frac{\sin(x)}{x^{2}}.
Reescrevo como produto para usar limites conhecidos:
\frac{\sin(x)}{x^{2}}=\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}.
Conhecimento-chave: \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1. Uma justificativa rápida é a desigualdade \cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1 para 0<x<\tfrac{\pi}{2}; passando ao limite obtemos 1. Agora, quando x\to0^{+} temos \frac{1}{x}\to +\infty. Portanto, como \frac{\sin(x)}{x}\to1 e \frac{1}{x}\to+\infty, o produto tende a +\infty. Conclusão:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{|x|}{x^{3}}\sin(x)=+\infty.

Passo 4

Caso x<0. Para x<0 temos |x|=-x. Substituindo:
\frac{|x|}{x^{3}}\sin(x)=\frac{-x}{x^{3}}\sin(x)=-\frac{\sin(x)}{x^{2}}.
De novo escrevo
-\frac{\sin(x)}{x^{2}}=-\left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}\right).
Agora, quando x\to0^{-} sabemos que \frac{\sin(x)}{x}\to1 também (o limite não depende da direção) e \frac{1}{x}\to -\infty. Assim \frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}\to -\infty. Com o sinal negativo na frente obtemos
-\left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{1}{x}\right)\to -(-\infty)=+\infty.
Portanto
\lim_{x\to0^{-}}\frac{|x|}{x^{3}}\sin(x)=+\infty.

Passo 5

Como as duas limites laterais coincidem e valem +\infty, o limite bilateral existe no sentido de limite infinito e é +\infty. Intuição curta: \sin(x) se comporta como x para x pequeno; a combinação com |x|/x^{3} resulta em algo como 1/|x|, que vai para +\infty de ambos os lados.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados