[8] Calcule os seguintes limites infinitos:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que devemos achar:
- A expressão contém valor absoluto
e potência ímpar , portanto o sinal pode mudar dependendo de ou . - Precisamos avaliar o comportamento quando
se aproxima de pela direita e pela esquerda, e então decidir o limite quando .
Passo 2
Motivação para dividir em casos: como
tem definição diferente para
e
, é natural estudar as limites laterais. Se as duas limites laterais forem iguais e forem
ou um mesmo número finito, esse será o limite quando
.
Passo 3
Caso
. Para
temos
. Substituindo na expressão:
Reescrevo como produto para usar limites conhecidos:
Conhecimento-chave:
. Uma justificativa rápida é a desigualdade
para
; passando ao limite obtemos
. Agora, quando
temos
. Portanto, como
e
, o produto tende a
. Conclusão:
Passo 4
Caso
. Para
temos
. Substituindo:
De novo escrevo
Agora, quando
sabemos que
também (o limite não depende da direção) e
. Assim
. Com o sinal negativo na frente obtemos
Portanto
Passo 5
Como as duas limites laterais coincidem e valem
, o limite bilateral existe no sentido de limite infinito e é
. Intuição curta:
se comporta como
para
pequeno; a combinação com
resulta em algo como
, que vai para
de ambos os lados.