[10] Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas / observações imediatas: quando
temos
, logo a base
enquanto o expoente
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo
. Não há outros dados numéricos: só essa expressão.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites do tipo
é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo (que normalmente dá uma forma do tipo finita), e então aplicar a exponencial no final. Isto funciona porque a função exponencial é contínua e estritamente crescente, então se
existe e é finito, então
.
Passo 3
Definimos
Tomando logaritmo natural,
Para calcular esse limite, separemos em duas parcelas:
Passo 4
Calcule a segunda parcela: como
, temos
Portanto a segunda parcela tende a
.
Passo 5
Foca na primeira parcela
Faça a substituição
(então
quando
). Reescrevendo:
Agora usamos a conhecida propriedade (que pode ser demonstrada com regra de L’Hôpital ou série)
Assim
Passo 6
Juntando as parcelas do Passo 3: a primeira parcela tende a
e a segunda parcela tende a
. Logo
Aplicando a exponencial (continuidade de
),
Passo 7
Como verificação alternativa rápida (opcional): escreva
Sabe-se que
e
, então o produto tende a
, confirmando o resultado.