[10] Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}.
Informações dadas / observações imediatas: quando x\to+\infty temos \frac{2}{x}\to0, logo a base \left(1+\frac{2}{x}\right)\to1 enquanto o expoente x+1\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Não há outros dados numéricos: só essa expressão.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites do tipo 1^{\infty} é tomar o logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo (que normalmente dá uma forma do tipo finita), e então aplicar a exponencial no final. Isto funciona porque a função exponencial é contínua e estritamente crescente, então se \ln L existe e é finito, então L=\mathrm{e}^{\ln L}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}.
Tomando logaritmo natural,
\ln L=\lim_{x\to+\infty}(x+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Para calcular esse limite, separemos em duas parcelas:
(x+1)\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)=x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)+\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).

Passo 4

Calcule a segunda parcela: como \frac{2}{x}\to0, temos
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)=\ln(1+0)=0.
Portanto a segunda parcela tende a 0.

Passo 5

Foca na primeira parcela \;x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)\;. Faça a substituição \;u=\frac{2}{x}\; (então u\to0^+ quando x\to+\infty). Reescrevendo:
x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) = \frac{\ln(1+u)}{u}\cdot 2.
Agora usamos a conhecida propriedade (que pode ser demonstrada com regra de L’Hôpital ou série)
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Assim
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)=2\cdot 1=2.

Passo 6

Juntando as parcelas do Passo 3: a primeira parcela tende a 2 e a segunda parcela tende a 0. Logo
\ln L = 2+0 = 2.
Aplicando a exponencial (continuidade de \mathrm{e}^{(\cdot)}),
L = \mathrm{e}^{2}.

Passo 7

Como verificação alternativa rápida (opcional): escreva
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}=\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{2}{x}\right).
Sabe-se que \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}^{2} e \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)=1, então o produto tende a \mathrm{e}^{2}, confirmando o resultado.

Resposta

\mathrm{e}^{2}

Exercícios relacionados