A função é a razão entre o polinômio do numerador \;5x^{3}-6x+1\; e o polinômio do denominador \;6x^{2}+x+1\;.
O comportamento pedido é quando x tende para -\infty (ou seja, x fica muito, muito negativo).
O grau do numerador é \;3\; e o grau do denominador é \;2\;.
Os coeficientes dos termos de maior grau são \;5\; no numerador e \;6\; no denominador.
Passo 2
Estratégia útil aqui: isolar a maior potência de x presente nos polinômios para ver claramente o comportamento quando x\to-\infty. Vou fatorar as potências maiores explicitamente. Escrevo a expressão dividindo numerador e denominador por x^{2} (ou equivalentemente, fatorando x^{3} no numerador e x^{2} no denominador). Fazendo essa manipulação algébrica obtemos:
Explicando a ideia: ao escrever assim, a parte complicada fica numa fração que tende a uma constante quando x\to\pm\infty, e sobra um fator x que nos indica se o limite será infinito (pos ou neg) ou um número finito.
Passo 3
Agora uso um fato básico sobre limites: para k>0,
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Aplicando isso aos termos com \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}}, temos
Tomando limite dos dois fatores (quando possível), a fração tende a \dfrac{5}{6} (feito no passo anterior) e o outro fator é x, cujo limite quando x\to -\infty é -\infty. Assim, heurística formal:
Multiplicar um número finito positivo por -\infty dá -\infty. Aqui a constante \dfrac{5}{6} é positiva, portanto o produto com x que vai para -\infty também vai para -\infty. Logo
Interpretação intuitiva rápida para fixar a ideia: como o numerador tem grau maior (3) que o denominador (2), a razão cresce em módulo sem limite quando |x|\to\infty. O sinal do infinito depende do sinal do termo dominante: 5x^{3} para x negativo é negativo (porque x^{3} é negativo), enquanto 6x^{2} é positivo; portanto a razão tende a -\infty. Um exemplo paralelo: \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5}+\cdots}{x^{4}+\cdots}=-\infty se o coeficiente líder do numerador for positivo e o expoente líder for ímpar.