[8] Calcule os seguintes limites infinitos:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-6 x+1}{6 x^{2}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{2}+x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a razão entre o polinômio do numerador \;5x^{3}-6x+1\; e o polinômio do denominador \;6x^{2}+x+1\;.
  • O comportamento pedido é quando x tende para -\infty (ou seja, x fica muito, muito negativo).
  • O grau do numerador é \;3\; e o grau do denominador é \;2\;.
  • Os coeficientes dos termos de maior grau são \;5\; no numerador e \;6\; no denominador.

Passo 2

Estratégia útil aqui: isolar a maior potência de x presente nos polinômios para ver claramente o comportamento quando x\to-\infty. Vou fatorar as potências maiores explicitamente. Escrevo a expressão dividindo numerador e denominador por x^{2} (ou equivalentemente, fatorando x^{3} no numerador e x^{2} no denominador). Fazendo essa manipulação algébrica obtemos:
\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{2}+x+1} = \frac{x^{3}\!\left(5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{x^{2}\!\left(6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)} = x\cdot\frac{5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Explicando a ideia: ao escrever assim, a parte complicada fica numa fração que tende a uma constante quando x\to\pm\infty, e sobra um fator x que nos indica se o limite será infinito (pos ou neg) ou um número finito.

Passo 3

Agora uso um fato básico sobre limites: para k>0,
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Aplicando isso aos termos com \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}}, temos
\lim_{x\to -\infty}\left(5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)=5 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\left(6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=6.
Como o limite do denominador desta fração é 6\neq 0, pelo teorema do quociente de limites
\lim_{x\to -\infty}\frac{5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{5}{6}.

Passo 4

Voltando à expressão fatorada,
\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{2}+x+1} = x\cdot\frac{5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Tomando limite dos dois fatores (quando possível), a fração tende a \dfrac{5}{6} (feito no passo anterior) e o outro fator é x, cujo limite quando x\to -\infty é -\infty. Assim, heurística formal:
\lim_{x\to -\infty} \left( x\cdot\frac{5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}\right) = \left(\lim_{x\to -\infty} x\right)\cdot\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{5-\dfrac{6}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{6+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}\right) = (-\infty)\cdot\frac{5}{6}.

Passo 5

Multiplicar um número finito positivo por -\infty -\infty. Aqui a constante \dfrac{5}{6} é positiva, portanto o produto com x que vai para -\infty também vai para -\infty. Logo
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{2}+x+1} = -\infty.

Passo 6

Interpretação intuitiva rápida para fixar a ideia: como o numerador tem grau maior ( 3) que o denominador ( 2), a razão cresce em módulo sem limite quando |x|\to\infty. O sinal do infinito depende do sinal do termo dominante: 5x^{3} para x negativo é negativo (porque x^{3} é negativo), enquanto 6x^{2} é positivo; portanto a razão tende a -\infty. Um exemplo paralelo: \lim_{x\to -\infty}\dfrac{2x^{5}+\cdots}{x^{4}+\cdots}=-\infty se o coeficiente líder do numerador for positivo e o expoente líder for ímpar.

Resposta

-\infty

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