10^{\circ} )Determinar" \mathbf{k}"em R a fim de que a matriz real A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & k\end{array}\right) seja inversível em M_{3}(\mathrm{R})

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & k \end{pmatrix}
e pede os valores de k\in\mathbb{R} tais que A seja inversível em M_3(\mathbb{R}).
Conteúdo: para uma matriz quadrada 3\times3, a condição de invertibilidade é
\det(A)\neq 0.
Vamos, portanto, calcular \det(A) em função de k.

Passo 2

Usando a regra de Sarrus para \det(A), escrevemos as três primeiras colunas novamente ao lado e somamos os produtos das diagonais principais, subtraindo os produtos das diagonais secundárias:
\det(A) =1\cdot1\cdot k +1\cdot2\cdot1 +1\cdot2\cdot2 \;-\;\bigl(1\cdot1\cdot1 +1\cdot2\cdot k +2\cdot2\cdot1\bigr).
Calculando termo a termo:
1\cdot1\cdot k = k,\quad 1\cdot2\cdot1 = 2,\quad 1\cdot2\cdot2 = 4,
1\cdot1\cdot1 = 1,\quad 1\cdot2\cdot k = 2k,\quad 2\cdot2\cdot1 = 4.
Logo,
\det(A) = (k + 2 + 4) - (1 + 2k + 4) = k + 6 - (2k + 5) = k + 6 -2k -5 = 1 - k.

Passo 3

Pela condição de invertibilidade, requeremos
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - k \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k \neq 1.

Resposta

k\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.

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