11⿱口丂) ^{\circ} )Dada a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) ,determine a matriz X \in M_{3}(R) tal que A X=I_{3}

Passo 1

O enunciado pede a matriz X\in M_{3}(\mathbb{R}) tal que
A X = I_{3},
com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Isso equivale a encontrar X = A^{-1}. Vamos usar o método de Gauss–Jordan montando a matriz aumentada \bigl[A\,|\,I_{3}\bigr] e reduzindo até obter \bigl[I_{3}\,|\,A^{-1}\bigr].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo de a_{11} na terceira linha fazendo R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).

Passo 4

Agora usamos o pivô a_{22}=1 para zerar a coluna 2 em R_{1} e R_{3}. Fazemos
R_{1}\leftarrow R_{1}-2\,R_{2} e R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}. O resultado é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right).

Passo 5

Dividimos a terceira linha por 2 para deixar o pivô a_{33}=1:
R_{3}\leftarrow \tfrac12\,R_{3} \quad\Longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -3 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right).

Passo 6

Por fim, zeramos os termos acima do pivô da coluna 3:
R_{1}\leftarrow R_{1}+3\,R_{3} e R_{2}\leftarrow R_{2}-2\,R_{3}. Obtém-se
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac32\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right).
Agora a parte esquerda é I_{3} e a direita é A^{-1}.

Resposta

X = A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac32\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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