Mostre que:
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para provar que para todo inteiro
vale a desigualdade
O método mais direto aqui é o princípio da indução matemática.
Passo 2
Base da indução (
):
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito em :
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito em
Logo
ou seja, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que para algum inteiro já seja válida a desigualdade
Suponha que para algum inteiro
Passo 4
Passo indutivo (
):
Queremos mostrar que
Queremos mostrar que
Observe que
Pela hipótese de indução,
, então
Como
implica
, temos
Combinando as desigualdades, conclui-se
o que fecha o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, vale
para todo
.