Mostre que:
(e) 1+n \leq 2^{n}, \forall n \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que para todo inteiro n\ge0 vale a desigualdade
1 + n \le 2^n.
O método mais direto aqui é o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
Calculamos o lado esquerdo e o lado direito em n=0:
1 + 0 = 1, \qquad 2^0 = 1.
Logo
1 + 0 = 1 \le 1 = 2^0,
ou seja, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que para algum inteiro k\ge0 já seja válida a desigualdade
1 + k \le 2^k.

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1):
Queremos mostrar que
1 + (k+1) \le 2^{k+1}.
Observe que
1 + (k+1) = (1 + k) + 1.
Pela hipótese de indução, (1 + k)\le 2^k, então
(1 + k) + 1 \le 2^k + 1.
Como k\ge0 implica 2^k \ge 1, temos
2^k + 1 \le 2^k + 2^k = 2^{k+1}.
Combinando as desigualdades, conclui-se
1 + (k+1) \le 2^{k+1},
o que fecha o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, vale
1 + n \le 2^n
para todo n\ge0.

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