1^{\circ} ) Determine se existir o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados:
z=x^{2}+y^{2} em P(0,0,0) e Q(1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o plano tangente ao gráfico da função \;z = x^{2} + y^{2}\; nos pontos P(0,0,0) e Q(1,1,2).
Conteúdo: derivadas parciais e definição de plano tangente para superfícies de forma z = f(x,y).

Passo 2

Lembrando que, se f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto (x_{0},y_{0}), então existe plano tangente dado por
z - f(x_{0},y_{0}) = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).
Como f(x,y)=x^{2}+y^{2} é polinomial, ela é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R}^2, então o plano tangente existe em qualquer ponto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y) = 2x, \quad f_{y}(x,y) = 2y.

Passo 4

Para P(0,0,0): f(0,0)=0^{2}+0^{2}=0,
f_{x}(0,0)=2\cdot0=0, \quad f_{y}(0,0)=2\cdot0=0.
Logo o plano tangente em P é
z - 0 = 0\,(x - 0) + 0\,(y - 0) \quad\Longrightarrow\quad z = 0.

Passo 5

Para Q(1,1,2): f(1,1)=1^{2}+1^{2}=2,
f_{x}(1,1)=2\cdot1=2, \quad f_{y}(1,1)=2\cdot1=2.
O plano tangente em Q satisfaz
z - 2 = 2\,(x - 1) + 2\,(y - 1) \quad\Longrightarrow\quad z = 2x + 2y - 2.

Resposta

No ponto P(0,0,0) existe o plano tangente
z = 0,
e no ponto Q(1,1,2) existe o plano tangente
z = 2x + 2y - 2.

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