10^circ ) Se A é limitado superiormente e B subset A então sup A >= sup B.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um conjunto AsubsetR limitado superiormente (ou seja, existe uma constante M tal que a<= M para todo ain A) e um subconjunto Bsubset A. Ele pede para provar que
sup A ;>=;sup B
O conteúdo aqui é a definição e a propriedade do supremo (least upper bound).

Passo 2

Pelo fato de sup A ser o menor majorante de A, sabemos em particular que sup A é um majorante de cada elemento de A. Assim, para todo ain A vale
a;<=;sup A

Passo 3

Como Bsubset A, todo bin B também pertence a A. Logo, para todo bin B temos
b;<=;sup A,
o que mostra que sup A é um majorante de B.

Passo 4

Por definição, sup B é o menor dos majorantes de B. Como sup A é um majorante de B, a minimalidade de sup B implica
sup B;<=;sup A

Resposta

sup A >= sup B.

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