) Se
é limitado superiormente e
então
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos um conjunto
limitado superiormente (ou seja, existe uma constante
tal que
para todo
) e um subconjunto
. Ele pede para provar que
O conteúdo aqui é a definição e a propriedade do supremo (least upper bound).
Passo 2
Pelo fato de
ser o menor majorante de
, sabemos em particular que
é um majorante de cada elemento de
. Assim, para todo
vale
Passo 3
Como
, todo
também pertence a
. Logo, para todo
temos
o que mostra que
é um majorante de
.
Passo 4
Por definição,
é o menor dos majorantes de
. Como
é um majorante de
, a minimalidade de
implica