) Se
é limitado inferiormente e
então
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos um conjunto
limitado inferiormente e um subconjunto
, e pede para mostrar que
Para isso, vamos usar a definição de ínfimo (o maior de todos os limites inferiores) e o fato de que todo elemento de
pertence a
.
Passo 2
Seja
. Pela definição de ínfimo, válidos dois pontos:
-
é uma cota inferior de , ou seja, para todo temos . -
é o maior entre as cotas inferiores de : se é qualquer outra cota inferior de , então .
Passo 3
Como
, todo
também está em
. Logo, da cota inferior
sobre
segue
o que mostra que
é também cota inferior de
.
Passo 4
Pela definição de
(que é o maior dentre as cotas inferiores de
), e sabendo que
é uma cota inferior qualquer de
, concluímos