11^circ ) Se A é limitado inferiormente e B subset A então inf A <= inf B.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um conjunto A limitado inferiormente e um subconjunto Bsubset A, e pede para mostrar que
inf A <= inf B
Para isso, vamos usar a definição de ínfimo (o maior de todos os limites inferiores) e o fato de que todo elemento de B pertence a A.

Passo 2

Seja alpha = inf A. Pela definição de ínfimo, válidos dois pontos:
  1. alpha é uma cota inferior de A, ou seja, para todo xin A temos alpha <= x.
  2. alpha é o maior entre as cotas inferiores de A: se gamma é qualquer outra cota inferior de A, então gamma <= alpha.

Passo 3

Como Bsubset A, todo bin B também está em A. Logo, da cota inferior alpha sobre A segue
alpha <= b para todo bin B,
o que mostra que alpha é também cota inferior de B.

Passo 4

Pela definição de inf B (que é o maior dentre as cotas inferiores de B), e sabendo que alpha é uma cota inferior qualquer de B, concluímos
alpha <= inf B

Resposta

inf A <= inf B.

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