9^circ ) Dados os números naturais a, b, prove que existe um número natural m tal que m a>b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,binN com a>=1, existe algum minN tal que
m,a > b
O conteúdo usado será o Algoritmo da Divisão Euclidiana aplicado aos naturais.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, existem únicos q,rinN tais que
b = a,q + r com 0 <= r < a

Passo 3

Basta tomar
m = q + 1
Então
m,a = (q+1),a = q,a + a = (b - r) + a = b + (a - r)
Como a>r, segue a-r>=1 e assim
m,a = b + (a-r) > b

Resposta

Basta escolher m = q+1, onde q e r vêm da divisão de b por a. Então m,a>b.

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