Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
s) lim x 0 e^a x-e^b xsen a x-sen b x, a, b neq 0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0e^a x-e^b xsin(a x)-sin(b x),
onde a,bneq0. Vamos usar os limites fundamentais
limuto0e^u-1u=1 e limuto0sin uu=1.

Passo 2

Fazendo a expansão em série de Taylor até primeira ordem em x:
e^a x=1+a x+o(x), e^b x=1+b x+o(x),
sin(a x)=a x+o(x), sin(b x)=b x+o(x)

Passo 3

Substituindo nas expressões:
e^a x-e^b x=(a-b)x+o(x), sin(a x)-sin(b x)=(a-b)x+o(x)
Logo,
e^a x-e^b xsin(a x)-sin(b x) =(a-b)x+o(x)(a-b)x+o(x) longrightarrow1

Resposta

1

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