10- (Uma condição insuficiente) Deixe Omega= 1,2,3,4, e deixe A=1,2,1,3.
a) Mostre que a sigma-algebra F gerada por A é o conjunto das partes 2^Omega.
b) Mostre que existem duas medidas de probabilidade P1 e P2 em (Omega, F), tal que P1(E)= P2(E) para qualquer E in A, mas P1 neq P2. Este problema mostra que o fato de que duas medidas de probabilidade coincidem com uma família geradora de uma sigma álgebra não garante que elas sejam iguais. No entanto, isso é verdade se adicionarmos a suposição de que a família geradora A é fechada sob interseções finitas.

Passo 1

O exercício define Ω={1,2,3,4} e A={{1,2},{1,3}}. Precisamos achar a σ-álgebra gerada por A e exibir duas medidas de probabilidade P₁ e P₂ que coincidem em A mas não são iguais em todo 2^Ω.

Passo 2

Para ver que σ(A)=2^Ω, note que σ(A) deve conter {1,2} e {1,3} e fechar-se por complementos e uniões contáveis. Tomando complementos, obtemos {3,4} e {2,4}. Intersectando, por exemplo, {1,2}∩{1,3}={1}, e também podemos obter {2}, {3} e {4} fazendo interseções e complementos apropriados. Como todo singleton está em σ(A), quaisquer subconjuntos de Ω (uniões de singletons) também estão em σ(A). Logo σ(A)=2^Ω.

Passo 3

Para construir duas medidas que coincidam em A, basta dar pesos p_i=P({i}). Por exemplo, defina P₁ uniforme: para i=1,…,4, P₁({i})=1/4. Então P₁({1,2})=1/2 e P₁({1,3})=1/2. Agora defina P₂ com P₂({1})=1/2, P₂({4})=1/2 e P₂({2})=P₂({3})=0. Aí P₂({1,2})=1/2 e P₂({1,3})=1/2 também. Mas P₁≠P₂, pois, por exemplo, P₁({2})=1/4≠0=P₂({2}).

Passo 4

Isso mostra que, sem fechadura de A por interseções finitas, duas medidas podem concordar em A e ainda assim diferir em outros conjuntos.

Resposta

a) A σ-álgebra gerada por A é todo o conjunto das partes 2^Ω.
b) Por exemplo, escolha P₁ uniforme em Ω (P₁({i})=1/4) e P₂ concentrada em {1,4} (P₂({1})=P₂({4})=1/2, P₂({2})=P₂({3})=0). Então P₁({1,2})=P₁({1,3})=1/2=P₂({1,2})=P₂({1,3}), mas P₁≠P₂.

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