Prove que a continuidade da medida de probabilidade. Dados A1, A2, ldots eventos, então
a) Se An nearrow A, então n infty quando

Passo 1

Temos uma sequência de eventos A1, A2, dots tal que An nearrow A, ou seja, Ansubseteq An+1 para todo n e A=cupn=1^infty An. O conteúdo aqui é a propriedade de continuidade (monotone convergence) de uma medida de probabilidade, e vamos usar a definição de sigma-aditividade.

Passo 2

Para explorar a sigma-aditividade, definimos eventos disjuntos que “separam” o crescimento de An. Seja B1=A1 e, para n>=2, Bn=Ansetminus An-1. Por construção, Bicap Bj=emptyset sempre que ineq j, e
cupn=1^infty Bn=cupn=1^infty An=A

Passo 3

Além disso, para cada n temos
cupk=1^n Bk = An

Passo 4

Agora aplicamos a sigma-aditividade da probabilidade no evento A=cupn=1^infty Bn:
P(A)=sumn=1^infty P(Bn)

Passo 5

E, para cada n, como os Bk são disjuntos,
P(An)= Pl(cupk=1^n Bkr)=sumk=1^n P(Bk)

Passo 6

Isso mostra que a sequência ( P(An))n>=1 é crescente e, ao tomar limite quando ntoinfty, obtemos
limntoinfty P(An)=limntoinftysumk=1^n P(Bk)=sumk=1^infty P(Bk)= P(A)

Passo 7

Logo, demonstramos que P(An)nearrow P(A) quando Annearrow A.

Resposta

limntoinfty P(An)= Pl(cupn=1^infty Anr)= P(A)

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