Prove que a continuidade da medida de probabilidade. Dados
eventos, então
a) Se
, então
quando
a) Se
Passo 1
Temos uma sequência de eventos
tal que
, ou seja,
para todo
e
. O conteúdo aqui é a propriedade de continuidade (monotone convergence) de uma medida de probabilidade, e vamos usar a definição de sigma-aditividade.
Passo 2
Para explorar a sigma-aditividade, definimos eventos disjuntos que “separam” o crescimento de
. Seja
e, para
,
. Por construção,
sempre que
, e
Passo 3
Além disso, para cada
temos
Passo 4
Agora aplicamos a sigma-aditividade da probabilidade no evento
:
Passo 5
E, para cada
, como os
são disjuntos,
Passo 6
Isso mostra que a sequência
é crescente e, ao tomar limite quando
, obtemos
Passo 7
Logo, demonstramos que
quando
.