Considere um modelo probabilístico cujo espaço amostral é a reta real. Mostre que
a) P([0, infty))=lim n infty P([0, n])
b) lim n infty P([n, infty))=0.

Passo 1

Nesse exercício temos um espaço amostral igual à reta real e uma medida de probabilidade P. O que queremos mostrar é que a probabilidade do conjunto [0,infty) pode ser obtida como limite de [0,n] quando ntoinfty, e que a probabilidade de [n,infty) vai a zero quando ntoinfty. Para isso vamos usar os teoremas de continuidade de medidas: continuidade de baixo (para união de conjuntos crescentes) e de cima (para interseção de conjuntos decrescentes).

Passo 2

Definimos a sequência de conjuntos crescentes An=[0,n]. Observamos que Ansubset An+1 para todo n, e
[0,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
Como P é uma medida de probabilidade, vale o teorema de continuidade de baixo:
Pl(cupn=1^infty Anr) = limntoinfty P(An)
Substituindo An=[0,n] e cup An=[0,infty), obtemos
P([0,infty)) = limntoinfty P([0,n])

Passo 3

Agora, para mostrar a parte b), definimos a sequência de conjuntos decrescentes Bn=[n,infty). Note que Bn+1subset Bn e
capn=1^infty Bn = capn=1^infty [n,infty) = emptyset
Como P é finita (é probabilidade), vale o teorema de continuidade de cima:
Pl(capn=1^infty Bnr) = limntoinfty P(Bn)
Mas P(emptyset)=0, logo
limntoinfty P([n,infty)) = 0

Resposta

a) P([0,infty)) = limntoinfty P([0,n])
b) limntoinfty P([n,infty)) = 0

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