Considere um modelo probabilístico cujo espaço amostral é a reta real. Mostre que
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Nesse exercício temos um espaço amostral igual à reta real e uma medida de probabilidade
. O que queremos mostrar é que a probabilidade do conjunto
pode ser obtida como limite de
quando
, e que a probabilidade de
vai a zero quando
. Para isso vamos usar os teoremas de continuidade de medidas: continuidade de baixo (para união de conjuntos crescentes) e de cima (para interseção de conjuntos decrescentes).
Passo 2
Definimos a sequência de conjuntos crescentes
. Observamos que
para todo
, e
[0,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
Como é uma medida de probabilidade, vale o teorema de continuidade de baixo:
[0,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
Como
Substituindo
e
, obtemos
Passo 3
Agora, para mostrar a parte b), definimos a sequência de conjuntos decrescentes
. Note que
e
Como
é finita (é probabilidade), vale o teorema de continuidade de cima:
Mas
, logo
Resposta
a)
b)
b)