12 - Desigualdade de Bonferroni
Definindo
e
bem como
para todos os números inteiros de
em
. Então, para k ímpar
e para k
par
(Se tiver com muita preguiça prove apenas para
2,3.)
Passo 1
Resumo: temos n eventos A₁,…,Aₙ e definimos as somas das probabilidades simples e de interseções S₁,S₂,S₃. O objetivo é provar as desigualdades de Bonferroni truncadas em k=2 e k=3, ou seja, obter limites inferior e superior para P(⋃_{i=1}^n A_i). Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão e o fato de que probabilidades de interseções são não-negativas.
Passo 2
Caso k=2 (k par): aplicamos o princípio de inclusão–exclusão truncado em 2 termos. Para quaisquer dois eventos A e B vale
Como P(A\cap B)\ge 0, temos
Este raciocínio estende-se a n eventos usando que S_2 é a soma de todas as P(A_i\cap A_j). Logo
Passo 3
Caso k=3 (k ímpar): escrevemos a fórmula de inclusão–exclusão completa truncada em 3 termos
onde R é a soma dos termos de ordem ≥4:
Como cada S_j\ge0 e os sinais em R começam por (-1)^3= -1, o resto R≤0. Assim
Resposta
As desigualdades de Bonferroni para k=2 e k=3 são:
Para k=2 (par):
Para k=3 (ímpar):