12 - Desigualdade de Bonferroni

Definindo
S1:=sumi=1^n P(Ai)
e
S2:=sum1 <= i
bem como
Sk:=sum1 <= i1
para todos os números inteiros de k em 3, ldots, n. Então, para k ímpar
P(cupi=1^n Ai) <= sumj=1^k(-1)^j-1 Sj
e para k >2 par
P(cupi=1^n Ai) >= sumj=1^k(-1)^j-1 Sj
(Se tiver com muita preguiça prove apenas para k= 2,3.)

Passo 1

Resumo: temos n eventos A₁,…,Aₙ e definimos as somas das probabilidades simples e de interseções S₁,S₂,S₃. O objetivo é provar as desigualdades de Bonferroni truncadas em k=2 e k=3, ou seja, obter limites inferior e superior para P(⋃_{i=1}^n A_i). Vamos usar o princípio da inclusão–exclusão e o fato de que probabilidades de interseções são não-negativas.

Passo 2

Caso k=2 (k par): aplicamos o princípio de inclusão–exclusão truncado em 2 termos. Para quaisquer dois eventos A e B vale
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Como P(A\cap B)\ge 0, temos
P(Acup B)>= P(A)+P(B)-P(Acap B)>= P(A)+P(B)-P(Acap B)=S1-S2
Este raciocínio estende-se a n eventos usando que S_2 é a soma de todas as P(A_i\cap A_j). Logo
Pl(cupi=1^n Air)>= S1-S2

Passo 3

Caso k=3 (k ímpar): escrevemos a fórmula de inclusão–exclusão completa truncada em 3 termos
Pl(cupi=1^n Air)=S1 - S2 + S3 + R,
onde R é a soma dos termos de ordem ≥4:
R=sumj=4^n(-1)^j-1Sj
Como cada S_j\ge0 e os sinais em R começam por (-1)^3= -1, o resto R≤0. Assim
Pl(cupi=1^n Air)<= S1 - S2 + S3

Resposta

As desigualdades de Bonferroni para k=2 e k=3 são:
Para k=2 (par):
Pl(cupi=1^n Air)>= S1 - S2
Para k=3 (ímpar):
Pl(cupi=1^n Air)<= S1 - S2 + S3

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