Seja
todos os conjuntos tais que
ou
são enumeráveis, com
no primeiro caso
no segundo. Mostre que (
) é um espaço de probabilidade
Passo 1
O enunciado define o espaço amostral
, a coleção de eventos
formada por todos os conjuntos
tais que
ou
é enumerável, e a medida
dada por
O conteúdo é teoria de medidas: precisamos mostrar que
é
-álgebra e que
é medida de probabilidade.
Passo 2
Para provar que
é
-álgebra, verificamos:
-
e estão em , pois é enumerável e é enumerável. - Se
, então ou é enumerável (logo co-contável) ou é enumerável. Em ambos os casos, a complementaridade fica em . - Se
, então há dois casos: - Se algum
é enumerável, então é interseção de conjuntos enumeráveis, logo enumerável, e . - Se nenhum
é enumerável, todos são enumeráveis. Então é união contável de enumeráveis e, portanto, enumerável. Logo .
Assimé -álgebra.
- Se algum
Passo 3
Agora mostramos que
é medida de probabilidade:
-
porque é enumerável. - Para famílias disjuntas
, note que não podem existir dois eventos com e ainda serem disjuntos (duas co-contáveis disjuntas dariam interseção vazia mas deveriam intersectar não-vazias). Logo no máximo um tem probabilidade 1, os demais têm probabilidade 0. Se exatamente um tem , então
Se todos têm probabilidade 0, então a união é enumerável e
Passo 4
Portanto,
satisfaz contabilidade finita e infinita e
. Concluímos que
é um espaço de probabilidade.
Resposta
É um espaço de probabilidade, pois
é
-álgebra,
é medida com
e satisfaz a aditividade contável.