Seja Omega=R, F= todos os conjuntos tais que A ou A^c são enumeráveis, com P(A)=0 no primeiro caso e=1 no segundo. Mostre que ( Omega, F, P ) é um espaço de probabilidade

Passo 1

O enunciado define o espaço amostral Omega=R, a coleção de eventos F formada por todos os conjuntos AsubseteqR tais que A ou A^c é enumerável, e a medida P dada por
P(A)=0,&se A é enumerável,1,&se A^c é enumerável éáéá
O conteúdo é teoria de medidas: precisamos mostrar que F é sigma-álgebra e que P é medida de probabilidade.

Passo 2

Para provar que F é sigma-álgebra, verificamos:
  1. emptyset e Omega estão em F, pois emptyset é enumerável e Omega^c=emptyset é enumerável.
  2. Se AinF, então ou A é enumerável (logo A^c co-contável) ou A^c é enumerável. Em ambos os casos, a complementaridade fica em F.
  3. Se (An)n>=1subseteqF, então há dois casos:
    • Se algum Ak^c é enumerável, então l(cupn=1^infty Anr)^c=capn=1^infty An^c é interseção de conjuntos enumeráveis, logo enumerável, e cup AninF.
    • Se nenhum An^c é enumerável, todos An são enumeráveis. Então cup An é união contável de enumeráveis e, portanto, enumerável. Logo cup AninF.
      Assim F é sigma-álgebra.

Passo 3

Agora mostramos que P é medida de probabilidade:
  1. P(Omega)=1 porque Omega^c=emptyset é enumerável.
  2. Para famílias disjuntas (An)subseteqF, note que não podem existir dois eventos com P(Ai)=P(Aj)=1 e ainda serem disjuntos (duas co-contáveis disjuntas dariam interseção vazia mas deveriam intersectar não-vazias). Logo no máximo um An tem probabilidade 1, os demais têm probabilidade 0. Se exatamente um Ak tem P(Ak)=1, então
Pl(cupnAnr)=1=sumnP(An)
Se todos têm probabilidade 0, então a união é enumerável e P(cup An)=0=sumn0

Passo 4

Portanto, P satisfaz contabilidade finita e infinita e P(Omega)=1. Concluímos que (Omega,F,P) é um espaço de probabilidade.

Resposta

É um espaço de probabilidade, pois F é sigma-álgebra, P é medida com P(Omega)=1 e satisfaz a aditividade contável.

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