10 Considere o seguinte conjunto de dados sobre o tempo de espera (em minutos) em um atendimento:
4,5,5,6,6,6,7,8,8,9,10
a) Construa a função de distribuição empírica acumulada (FDE)
b) Desenhe o gráfico da FDE
c) Qual a proporção de atendimentos com tempo menor ou igual a 6 minutos?
d) Quando fazemos Fn(6)-Fn(5), obtemos o número de observações igual a 6. Isso acontece sempre que fazemos Fn(x(i)+1)-Fn(x(i)) ?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=11 com os tempos de espera (em minutos)
4,5,5,6,6,6,7,8,8,9,10
e pede:
– (a) montar a função de distribuição empírica acumulada Fn(x),
– (b) desenhar seu gráfico em forma de escada,
– (c) calcular a proporção de atendimentos com tempo <=6 minutos,
– (d) comentar por que Fn(6)-Fn(5) “captura” o número de observações igual a 6 e se isso vale sempre para Fn(x(i)+1)-Fn(x(i)).
Conteúdo: definição e propriedades da função de distribuição empírica (FDE).

Passo 2

Identificamos os valores distintos e suas frequências absolutas f:
x&: 4,;5,;6,;7,;8,;9,;10, f&: 1,;2,;3,;1,;2,;1,;1
Daí as frequências relativas são pi = fi/n:
p4=tfrac111,;p5=tfrac211,;p6=tfrac311,;p7=tfrac111,;p8=tfrac211,;p9=tfrac111,;p10=tfrac111

Passo 3

Montamos a FDE Fn(x)=P(,X<= x,) como função em trechos constantes e saltos em cada valor amostrado:
Para x<4:
Fn(x)=0
Para 4<= x<5:
Fn(x)=111
Para 5<= x<6:
Fn(x)=1+211=311
Para 6<= x<7:
Fn(x)=3+311=611
Para 7<= x<8:
Fn(x)=6+111=711
Para 8<= x<9:
Fn(x)=7+211=911
Para 9<= x<10:
Fn(x)=9+111=1011
Para x>=10:
Fn(x)=1

Passo 4

O gráfico de Fn é uma escada que começa em 0, salta para tfrac111 em x=4, depois para tfrac311 em x=5, para tfrac611 em x=6 etc., mantendo-se constante entre esses pontos e atingindo 1 em x>=10.

Passo 5

A proporção de atendimentos com tempo <=6 é exatamente
Fn(6)=611approx0,545

Passo 6

Calculamos
Fn(6)-Fn(5)=611-311=311,
que é a frequência relativa de observações iguais a 6. Em geral, se x(1),x(2),dots são os valores distintos da amostra, então
Fnl(x(i)r)-Fnl(x(i-1)r)
é sempre a frequência relativa de x(i). Só vale usar x(i)+1 em vez de x(i-1) quando não houver outros valores de dado entre x(i-1) e x(i) (por exemplo, em dados inteiros consecutivos).

Resposta

a) Fn(x) definida em trechos conforme Passo 3.
b) Escada de saltos em 4,5,6,7,8,9,10 nos níveis tfrac111,tfrac311,tfrac611,tfrac711,tfrac911,tfrac1011,1.
c) 611.
d) O diferença de Fn em dois pontos consecutivos distintos dá sempre a frequência relativa daquele valor; usar “ +1” só funciona quando não há outros dados no intervalo.

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