10 Dadas as funções y definidas implicitamente abaixo, encontre y^prime

  1. y^2+x^2=2
  2. x y^2+2 y^3=x-2 y
  3. y^3=x-yx+y
  4. e^y=x+y
  5. a sen^2(x+y)=b

Passo 1

A questão apresenta cinco equações que definem y implicitamente em função de x. Vamos usar diferenciação implícita e regra da cadeia para encontrar y′ em cada caso.

Passo 2

Para y² + x² = 2 diferenciamos ambos os lados em relação a x: em y² aplica-se a regra da cadeia e em x² a derivada usual. Temos
2y,y' + 2x = 0
Isolando y′ resulta
y' = -xy.

Passo 3

Para x y² + 2y³ = x - 2y diferenciamos termo a termo: em x y² usamos produto (x)’·y² + x·(y²)’, e em y² e y³ aplicamos regra da cadeia. Em x e -2y derivamos normalmente. Isso dá
y^2 + 2xy,y' + 6y^2,y' = 1 - 2y'
Agrupando os termos com y′:
(2xy + 6y^2 + 2),y' = 1 - y^2
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y' = 1 - y^22,(xy + 3y^2 + 1).

Passo 4

Para y³ = x - y/ x + y diferenciamos 3y²·y’ no LHS e no RHS usamos quociente: (u/v)’ = (u’v - uv’)/v² com u = x - y, v = x + y. Obtemos
3y^2,y' = (1 - y')(x + y) - (x - y)(1 + y')(x + y)^2
Simplificando o numerador e isolando y′ dá
y' = 2y3y^2,(x + y)^2 + 2x.

Passo 5

Para e^y = x + y diferenciamos e^y·y’ no LHS e 1 + y’ no RHS, obtendo
e^y,y' = 1 + y'
Isolando y′:
(e^y - 1),y' = 1
y' = 1e^y - 1.

Passo 6

Para a sen²(x+y) = b diferenciamos usando regra da cadeia duas vezes: 2sen(x+y)·cos(x+y)·(1 + y’)·a = 0. Como a≠0 e em geral sen(x+y)cos(x+y)≠0, segue-se que 1 + y’ = 0. Então
y' = -1.

Resposta

  1. y’ = -\frac{x}{y}
  2. y’ = \frac{1 - y^2}{2,(x y + 3y^2 + 1)}
  3. y’ = \frac{2y}{3y^2,(x + y)^2 + 2x}
  4. y’ = \frac{1}{e^y - 1}
  5. y’ = -1

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