10 Dadas as funções
definidas implicitamente abaixo, encontre
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Passo 1
A questão apresenta cinco equações que definem y implicitamente em função de x. Vamos usar diferenciação implícita e regra da cadeia para encontrar y′ em cada caso.
Passo 2
Para y² + x² = 2 diferenciamos ambos os lados em relação a x: em y² aplica-se a regra da cadeia e em x² a derivada usual. Temos
Isolando y′ resulta
Passo 3
Para x y² + 2y³ = x - 2y diferenciamos termo a termo: em x y² usamos produto (x)’·y² + x·(y²)’, e em y² e y³ aplicamos regra da cadeia. Em x e -2y derivamos normalmente. Isso dá
Agrupando os termos com y′:
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Passo 4
Para y³ =
/
diferenciamos 3y²·y’ no LHS e no RHS usamos quociente: (u/v)’ = (u’v - uv’)/v² com u = x - y, v = x + y. Obtemos
Simplificando o numerador e isolando y′ dá
Passo 5
Para e^y = x + y diferenciamos e^y·y’ no LHS e 1 + y’ no RHS, obtendo
Isolando y′:
Passo 6
Para a sen²(x+y) = b diferenciamos usando regra da cadeia duas vezes: 2sen(x+y)·cos(x+y)·(1 + y’)·a = 0. Como a≠0 e em geral sen(x+y)cos(x+y)≠0, segue-se que 1 + y’ = 0. Então
Resposta
- y’ = -\frac{x}{y}
- y’ = \frac{1 - y^2}{2,(x y + 3y^2 + 1)}
- y’ = \frac{2y}{3y^2,(x + y)^2 + 2x}
- y’ = \frac{1}{e^y - 1}
- y’ = -1