Determine a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos pontos indicados:
cos (x y)+sen(y z)=0 em P=(1, pi / 6,-2)

Passo 1

A questão pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada implicitamente por cos(xy)+sin(yz)=0 no ponto P=(1,tfracpi6,-2). O conteúdo principal é usar derivadas parciais para montar o gradiente nabla F, que será o vetor normal à superfície.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=cos(xy)+sin(yz). As derivadas parciais são:
partial Fpartial x=-sin(xy),y, partial Fpartial y=-sin(xy),x+cos(yz),z, partial Fpartial z=cos(yz),y

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas em P=(1,tfracpi6,-2):
Para xy=tfracpi6 temos sin(xy)=tfrac12. Para yz=-tfracpi3 temos cos(yz)=tfrac12.
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Fx(P)=-ysin(xy)=-tfracpi6cdottfrac12=-tfracpi12,
Fy(P)=-xsin(xy)+zcos(yz)=-1cdottfrac12+(-2)cdottfrac12=-tfrac12-1=-tfrac32,
Fz(P)=ycos(yz)=tfracpi6cdottfrac12=tfracpi12
Assim nabla F(P)=(-tfracpi12,-tfrac32,tfracpi12).

Passo 4

O plano tangente é dado por
Fx(P)(x-1)+Fy(P)l(y-tfracpi6r)+Fz(P)(z+2)=0
Substituindo os valores:
-tfracpi12(x-1)-tfrac32l(y-tfracpi6r)+tfracpi12(z+2)=0
Multiplicando tudo por 12 e reorganizando, obtemos
pi x+18y-pi z=6pi

Passo 5

A reta normal parte de P na direção de nabla F(P). As equações paramétricas são
x=1-tfracpi12t, y=tfracpi6-tfrac32t, z=-2+tfracpi12t

Resposta

Plano tangente: -tfracpi12(x-1)-tfrac32(y-tfracpi6)+tfracpi12(z+2)=0, que simplifica para pi x+18y-pi z=6pi. Reta normal: x=1-tfracpi12t,;y=tfracpi6-tfrac32t,;z=-2+tfracpi12t.

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