Prove as seguintes desigualdades:
raiz1+x<1+12 x, para x>0

Passo 1

O enunciado pede para provar que raiz1+x<1+tfracx2 para todo x>0. Vamos usar desigualdades e a propriedade de que a função tmapsto t^2 é crescente em t>0.

Passo 2

Para x>0, temos raiz1+x>0 e 1+tfracx2>0. Como a função tmapsto t^2 é estritamente crescente em t>0, podemos elevar os dois lados da desigualdade ao quadrado sem mudar o sentido.
Elevando ao quadrado, obtemos:
l(raiz1+xr)^2 < l(1+tfracx2r)^2
ou seja
1 + x < 1 + x + tfracx^24

Passo 3

Subtraindo 1+x de ambos os lados resulta em:
0 < tfracx^24

Passo 4

Como x>0, temos x^2>0 e, portanto, x^2/4>0. Isso confirma a desigualdade original.

Resposta

raiz1+x<1+tfracx2 para todo x>0.

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