Prove as seguintes desigualdades:
, para
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para todo
. Vamos usar desigualdades e a propriedade de que a função
é crescente em
.
Passo 2
Para
, temos
e
. Como a função
é estritamente crescente em
, podemos elevar os dois lados da desigualdade ao quadrado sem mudar o sentido.
Elevando ao quadrado, obtemos:
Elevando ao quadrado, obtemos:
ou seja
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados resulta em:
Passo 4
Como
, temos
e, portanto,
. Isso confirma a desigualdade original.