Determine a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos pontos indicados:
x y z=6 no ponto cuja projeção no plano y=0 é (1,0,3)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por F(x,y,z)=xyz=6, no ponto cuja projeção no plano y=0 é (1,0,3). Vamos usar derivadas parciais (gradiente) para achar o normal ao plano tangente.

Passo 2

Para encontrar o ponto P na superfície cuja projeção em y=0 é (1,0,3), note que um ponto genérico projetado seria (1,y,3). Como ele pertence a xyz=6, temos:
1cdot ycdot 3 =6
Logo y=2 e P=(1,2,3).

Passo 3

O gradiente de F(x,y,z)=xyz é
nabla F=(Fx, Fy, Fz)=(yz, xz, xy)
No ponto P=(1,2,3) isso vale
nabla F(1,2,3)=(2cdot3, 1cdot3, 1cdot2)=(6,3,2)
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação do plano tangente vem de
6(x-1)+3(y-2)+2(z-3)=0
Desenvolvendo:
6x+3y+2z-18=0
A reta normal passa por P na direção (6,3,2), portanto seus paramétricos são
x=1+6t, y=2+3t, z=3+2t

Resposta

Plano tangente: 6x+3y+2z-18=0.
Reta normal: lx=1+6t,;y=2+3t,;z=3+2tr,;tinR

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