Determine a equação do plano tangente e da reta normal a cada superfície abaixo, nos pontos indicados:
no ponto cuja projeção no plano
é
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície definida por
, no ponto cuja projeção no plano
é
. Vamos usar derivadas parciais (gradiente) para achar o normal ao plano tangente.
Passo 2
Para encontrar o ponto
na superfície cuja projeção em
é
, note que um ponto genérico projetado seria
. Como ele pertence a
, temos:
Logo
Passo 3
O gradiente de
é
No ponto
Esse vetor é normal ao plano tangente.
Passo 4
A equação do plano tangente vem de
Desenvolvendo:
A reta normal passa por
na direção
, portanto seus paramétricos são
Resposta
Plano tangente:
.
Reta normal:
Reta normal: