7-Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que \vec{f}(\vec{r}, t)=\vec{a} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{a}\right) e \vec{g}(\vec{r}, t)=\vec{b} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{b}\right), onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais. Mostre que \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \cdot \vec{g}^{*}\right) e \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle= \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \times \vec{g}^{*}\right)

Passo 1

O enunciado dá as funções complexas (assumimos o fator imaginário i no expoente, pois a questão usa notação complexa)
\vec{f}(\vec{r},t)=\vec{a}\,\exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_a)\bigr)
\vec{g}(\vec{r},t)=\vec{b}\,\exp\bigl(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_b)\bigr)
onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais. O que se pede: provar as duas identidades de média temporal
\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\right)
\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\right).
Também relevante: \vec{f}^{*} denota o conjugado complexo de \vec{f}, e a média temporal \langle\cdot\rangle será tomada sobre um período T=2\pi/\omega.

Passo 2

Fórmulas úteis e notação (aqui aprendo e memorizo para usar na prova):
  • A parte real de um número ou vetor complexo z é
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2},
onde z^{*} é o conjugado complexo de z.
  • Produto escalar e produto vetorial são lineares, e o conjugado complexo respeita (uv)^{*}=u^{*}v^{*} e (u\times v)^{*}=u^{*}\times v^{*}.
    Aplicando isso às nossas funções, escrevo explicitamente os conjugados:
\vec{f}^{*}=\vec{a}\,\exp\bigl(-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_a)\bigr), \quad \vec{g}^{*}=\vec{b}\,\exp\bigl(-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_b)\bigr).

Passo 3

Definição da média temporal usada e um resultado chave sobre exponenciais:
  • Defino a média sobre um período T por
\langle X(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} X(t)\,dt,\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Proposição útil (e fácil de mostrar): para inteiro n\neq 0,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{i n\omega t}\,dt=0,
porque
\int_{0}^{T}e^{i n\omega t}\,dt=\left.\frac{e^{i n\omega t}}{i n\omega}\right|_{0}^{T}=\frac{e^{i n\omega T}-1}{i n\omega}=0
já que e^{i n\omega T}=e^{i n\omega\cdot 2\pi/\omega}=e^{i 2\pi n}=1. Portanto, qualquer termo oscilante com fator e^{\pm i m\omega t} (com m\neq 0) tem média zero.

Passo 4

Cálculo de \langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle.
  • Primeiro escrevo as partes reais via soma com conjugado:
\operatorname{Re}(\vec{f})=\frac{\vec{f}+\vec{f}^{*}}{2},\qquad \operatorname{Re}(\vec{g})=\frac{\vec{g}+\vec{g}^{*}}{2}.
  • Então o produto escalar é
\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}+\vec{f}^{*}\bigr)\cdot\bigl(\vec{g}+\vec{g}^{*}\bigr).
  • Expandindo:
\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}+\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}^{*}\bigr).
  • Agora analiso a dependência temporal de cada termo. Usando as expressões exponenciais:
    • \vec{f}\cdot\vec{g} contém fator e^{i(2\vec{k}\cdot\vec{r}-2\omega t+\delta_a+\delta_b)}, ou seja, tem um fator temporal e^{-2i\omega t} (os outros fatores são independentes de t).
    • \vec{f}^{*}\cdot\vec{g}^{*} tem fator temporal e^{+2i\omega t}.
    • \vec{f}\cdot\vec{g}^{*} tem fator temporal e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_a)}e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_b)}=e^{i(\delta_a-\delta_b)}, que é independente do tempo.
    • \vec{f}^{*}\cdot\vec{g} é o conjugado de \vec{f}\cdot\vec{g}^{*} e também é independente do tempo.
  • Pela Proposição do passo anterior, os termos com e^{\pm 2i\omega t} têm média zero. Assim, ao tomar a média temporal,
\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle =\frac{1}{4}\bigl(\langle\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\rangle+\langle\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}\rangle\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}\bigr),
pois os dois termos restantes são independentes do tempo e saem da integral. Mas pela definição de parte real de um número (ou escalar complexo) z,
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2},
então aplicando a isso com z=\vec{f}\cdot\vec{g}^{*} obtemos
\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}\bigr)=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\right).
Logo
\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\right).

Passo 5

Cálculo de \langle\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle.
  • A mesma ideia vale para o produto vetorial, pois a operação é bilinear e o conjugado distribui sobre o produto vetorial. Escrevo
\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}+\vec{f}^{*}\bigr)\times\bigl(\vec{g}+\vec{g}^{*}\bigr).
  • Expandindo:
\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g}) =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}+\vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*}\bigr).
  • Novamente, \vec{f}\times\vec{g} e \vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*} têm fatores temporais oscilantes e^{\pm 2i\omega t} e portanto suas médias são zero. Os termos \vec{f}\times\vec{g}^{*} e \vec{f}^{*}\times\vec{g} são independentes do tempo (são conjugados entre si).
  • Tomando a média e usando a definição de parte real componente a componente,
\langle\operatorname{Re}(\vec{f})\times\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle =\frac{1}{4}\bigl(\vec{f}\times\vec{g}^{*}+\vec{f}^{*}\times\vec{g}\bigr) =\frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\right).

Resposta

\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\dfrac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\cdot\vec{g}^{*}\right)\n
\langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\dfrac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\vec{f}\times\vec{g}^{*}\right)

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