7-Em notação complexa há um dispositivo engenhoso para descobrir a média temporal de um produto. Suponha que \vec{f}(\vec{r}, t)=\vec{a} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{a}\right) e \vec{g}(\vec{r}, t)=\vec{b} \exp \left(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t+\delta_{b}\right), onde \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes reais. Mostre que \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \cdot \vec{g}^{*}\right) e \langle\operatorname{Re}(\vec{f}) \times \operatorname{Re}(\vec{g})\rangle= \frac{1}{2} \operatorname{Re}\left(\vec{f} \times \vec{g}^{*}\right)
Passo 1
O enunciado dá as funções complexas (assumimos o fator imaginário i no expoente, pois a questão usa notação complexa)
Também relevante: \vec{f}^{*} denota o conjugado complexo de \vec{f}, e a média temporal \langle\cdot\rangle será tomada sobre um período T=2\pi/\omega.
Passo 2
Fórmulas úteis e notação (aqui aprendo e memorizo para usar na prova):
A parte real de um número ou vetor complexo z é
\operatorname{Re}(z)=\frac{z+z^{*}}{2},
onde z^{*} é o conjugado complexo de z.
Produto escalar e produto vetorial são lineares, e o conjugado complexo respeita (uv)^{*}=u^{*}v^{*} e (u\times v)^{*}=u^{*}\times v^{*}.
Aplicando isso às nossas funções, escrevo explicitamente os conjugados:
já que e^{i n\omega T}=e^{i n\omega\cdot 2\pi/\omega}=e^{i 2\pi n}=1. Portanto, qualquer termo oscilante com fator e^{\pm i m\omega t} (com m\neq 0) tem média zero.
Passo 4
Cálculo de \langle\operatorname{Re}(\vec{f})\cdot\operatorname{Re}(\vec{g})\rangle.
Primeiro escrevo as partes reais via soma com conjugado:
Agora analiso a dependência temporal de cada termo. Usando as expressões exponenciais:
\vec{f}\cdot\vec{g} contém fator e^{i(2\vec{k}\cdot\vec{r}-2\omega t+\delta_a+\delta_b)}, ou seja, tem um fator temporal e^{-2i\omega t} (os outros fatores são independentes de t).
\vec{f}^{*}\cdot\vec{g}^{*} tem fator temporal e^{+2i\omega t}.
\vec{f}\cdot\vec{g}^{*} tem fator temporal e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_a)}e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t+\delta_b)}=e^{i(\delta_a-\delta_b)}, que é independente do tempo.
\vec{f}^{*}\cdot\vec{g} é o conjugado de \vec{f}\cdot\vec{g}^{*} e também é independente do tempo.
Pela Proposição do passo anterior, os termos com e^{\pm 2i\omega t} têm média zero. Assim, ao tomar a média temporal,
Novamente, \vec{f}\times\vec{g} e \vec{f}^{*}\times\vec{g}^{*} têm fatores temporais oscilantes e^{\pm 2i\omega t} e portanto suas médias são zero. Os termos \vec{f}\times\vec{g}^{*} e \vec{f}^{*}\times\vec{g} são independentes do tempo (são conjugados entre si).
Tomando a média e usando a definição de parte real componente a componente,