8-Seja um meio linear, isotrópico e homogêneo de permissividade e permeabilidade relativas \varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{o} e \mu_{r}=\mu / \mu_{o}, respectivamente, e condutividade \sigma, onde n é o índice de refração do meio. Na ausência de cargas (\rho=0) e correntes (\vec{J}=0). a) Usando as equações de Maxwell, mostre que os campos elétrico
\vec{E}(\vec{r}, t) e magnético \vec{H}(\vec{r}, t) satisfazem a equação de onda generalizada:
\vec{\nabla}^{2}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}=\frac{n^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}+\mu \sigma \frac{\partial}{\partial t}\binom{\vec{E}}{\vec{H}} .
b) Assumindo soluções de ondas planas: \vec{E}(\vec{r}, t)=\vec{E}_{o} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)} e \vec{H}(\vec{r}, t)=\vec{H}_{o} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)} na equação acima, mostre que o vetor de onda \vec{k}=k \widehat{k} é um número complexo onde o seu módulo é dado por
k=\frac{n w}{c}(1+i Q)^{1 / 2}=|k| e^{i \varphi},
onde n=\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}} é o índice de refração do meio, Q=\frac{\sigma}{w \varepsilon},|k|=\frac{n w}{c}\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4} e \varphi=\frac{1}{2} \arctan (Q).
c) Mostre que, podemos reescrever o módulo do vetor de onda na seguinte forma complexa:
k=k_{r}+i k_{i},
sendo
\left\{\begin{array}{l} k_{r}=\frac{n w}{\sqrt{2} c}\left(\sqrt{1+Q^{2}}+1\right)^{1 / 2} \\\ k_{i}=\frac{n w}{\sqrt{2} c}\left(\sqrt{1+Q^{2}}-1\right)^{1 / 2} \end{array} .\right.
d) Da equação de Faraday, mostre que
\vec{B}=\frac{|k|}{w}(\widehat{k} \times \vec{E}) e^{i \varphi} .
e) Do item (d), mostre que
\frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{n}{c}\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4} .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Dado:
  • Meio linear, isotrópico e homogêneo com permissividade absoluta \varepsilon\), permeabilidade absoluta \(\mu\) e condutividade \(\sigma\). - Permissividade relativa \(\varepsilon_{r}=\varepsilon/\varepsilon_{0}\) e permeabilidade relativa \(\mu_{r}=\mu/\mu_{0}\). - Índice de refração \(n=\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}\). - Não há cargas livres macroscópicas: \(\rho=0\). - Há corrente de condução dada pelas leis constitutivas (corrente de condução): \(\vec{J}=\sigma\vec{E}\). - Equações de Maxwell (forma diferencial) válidas no meio: \[\begin{cases} \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\[6pt] \vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}+\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t},\\[6pt] \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho=0,\\[6pt] \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. \end{cases}
  • Leis constitutivas do meio linear, isotrópico e homogêneo:
\vec{D}=\varepsilon\vec{E},\qquad \vec{B}=\mu\vec{H},\qquad \vec{J}=\sigma\vec{E}.
Pedidos:
a) Mostrar que \vec{E}(\vec{r},t)\] e \(\vec{H}(\vec{r},t) satisfazem a equação de onda generalizada
\vec{\nabla}^{2}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}=\frac{n^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}+\mu \sigma \frac{\partial}{\partial t}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}.
b) Assumindo ondas planas \vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} e \vec{H}=\vec{H}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, mostrar que \vec{k}=k\widehat{k} é complexo com
k=\frac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}=|k|e^{i\varphi},
onde Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}, |k|=\dfrac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4} e \varphi=\dfrac{1}{2}\arctan(Q).
c) Mostrar que k=k_{r}+ik_{i} com
\left\{\begin{array}{l} k_{r}=\dfrac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}+1\big)^{1/2},\\[6pt] k_{i}=\dfrac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}-1\big)^{1/2}. \end{array}\right.
d) A partir da lei de Faraday, mostrar que
\vec{B}=\frac{|k|}{\omega}(\widehat{k}\times\vec{E})\,e^{i\varphi}.
e) Mostrar que
\frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{n}{c}\big(1+Q^{2}\big)^{1/4}.]

Passo 2

Derivação da equação de onda para \vec{E}.
Vamos começar das equações de Maxwell e aplicar identidade vetorial e as leis constitutivas. Passo a passo, explicando cada escolha.
  1. Escrevemos a lei de Faraday:
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  1. Tomamos o rotor (curl) dos dois lados:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
  1. Usamos a identidade vetorial
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E})-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}.
Explicação curta: essa identidade transforma o curl do curl em divergência menos laplaciano; é fundamental para obter \nabla^{2}\vec{E}.
  1. Como \rho=0 e \vec{D}=\varepsilon\vec{E}, temos \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0. Então o termo de divergência some e obtemos
-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
  1. Relacionamos \vec{B} com \vec{H}: \vec{B}=\mu\vec{H}. A equação de Ampère-Maxwell é
\vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Multiplicando por \mu (constante no meio homogêneo) obtemos
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}+\mu\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
  1. Substituímos \vec{J}=\sigma\vec{E} e \vec{D}=\varepsilon\vec{E} na expressão acima:
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  1. Voltando à equação do passo 4:
-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\big(\mu\sigma\vec{E}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\big).
Derivando temporalmente os termos do parêntese:
-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=-\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. Multiplicando por -1:
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}+\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  1. Reconhecemos que c^{2}=\dfrac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}} e que n^{2}=\mu_{r}\varepsilon_{r}=\dfrac{\mu\varepsilon}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}. Portanto
\mu\varepsilon=\frac{n^{2}}{c^{2}}.
Substituindo no resultado do passo 8 chegamos à forma desejada:
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}+\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.

Passo 3

Derivação análoga para \vec{H}.
Explico o procedimento: para obter a equação de onda para \vec{H} tomamos o rotor da equação de Ampère-Maxwell e repetimos o raciocínio trocando papéis de \vec{E} e \vec{H}.
  1. Temos
\vec{\nabla}\times\vec{H}=\sigma\vec{E}+\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  1. Aplicamos o rotor:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{H})=\vec{\nabla}\times\big(\sigma\vec{E}+\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\big).
  1. Pela identidade vetorial:
\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{H})-\vec{\nabla}^{2}\vec{H}=\sigma\vec{\nabla}\times\vec{E}+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{E}).
  1. Como \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 e \vec{B}=\mu\vec{H} com \mu constante, segue que \vec{\nabla}\cdot\vec{H}=0. Logo
-\vec{\nabla}^{2}\vec{H}=\sigma\vec{\nabla}\times\vec{E}+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{E}).
  1. Usando Faraday \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\mu\dfrac{\partial\vec{H}}{\partial t}, obtemos
-\vec{\nabla}^{2}\vec{H}=-\sigma\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}-\varepsilon\mu\frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}.
  1. Multiplicando por -1 e usando \mu\varepsilon=\dfrac{n^{2}}{c^{2}} chegamos a
\vec{\nabla}^{2}\vec{H}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}+\mu\sigma\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.
Assim as duas equações de onda generalizadas para \vec{E} e \vec{H} foram obtidas.

Passo 4

Inserção das soluções de ondas planas na equação de onda e obtenção de k^{2}.
Assumimos
\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Para essa forma exponencial, as operações diferenciais agem multiplicando por constantes:
  • \vec{\nabla}^{2} atua como -k^{2} porque \vec{\nabla}^{2}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}=-|\vec{k}|^{2}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}.
  • \dfrac{\partial}{\partial t} atua como -i\omega.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} atua como -\omega^{2}.
Substituindo na equação de onda para \vec{E}:
(-k^{2})\vec{E}=\frac{n^{2}}{c^{2}}(-\omega^{2})\vec{E}+\mu\sigma(-i\omega)\vec{E}.
Cancelando \vec{E} não-nulo e multiplicando por -1:
k^{2}=\frac{n^{2}\omega^{2}}{c^{2}}+i\mu\sigma\omega.

Passo 5

Manipulação para obter k=\dfrac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}.
Queremos escrever a segunda parcela em termos do parâmetro adimensional Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}. Observe que
\mu\sigma\omega=\mu\varepsilon\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon}\cdot\frac{1}{\omega}\cdot\omega^{2}=\mu\varepsilon\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon}\cdot\omega.
Mais direto: usando \mu\varepsilon=\dfrac{n^{2}}{c^{2}} obtemos
\mu\sigma\omega=\frac{n^{2}}{c^{2}}\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon}\cdot\frac{1}{\omega}\cdot\omega^{2}=\frac{n^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\cdot\frac{\sigma}{\varepsilon\omega}.
Portanto
k^{2}=\frac{n^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\Big(1+i\frac{\sigma}{\varepsilon\omega}\Big).
Definindo
Q=\frac{\sigma}{\varepsilon\omega},
temos
k^{2}=\Big(\frac{n\omega}{c}\Big)^{2}\big(1+iQ\big).
Tomando a raiz quadrada complexa:
k=\frac{n\omega}{c}\,(1+iQ)^{1/2}.

Passo 6

Expressão em módulo e fase de k.
Para qualquer número complexo z=1+iQ podemos escrevê-lo em coordenadas polares:
z=1+iQ=R e^{i\theta},
onde
R=|z|=\sqrt{1+Q^{2}},\qquad \theta=\arg(z)=\arctan\big(Q\big).
A raiz quadrada de z é
z^{1/2}=R^{1/2}e^{i\theta/2}=(1+Q^{2})^{1/4}e^{i\frac{1}{2}\arctan(Q)}.
Multiplicando por \dfrac{n\omega}{c} obtemos a forma polar de k:
k=\frac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}=|k|e^{i\varphi},
com
|k|=\frac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4},\qquad \varphi=\frac{1}{2}\arctan(Q).

Passo 7

Obter as componentes real e imaginária k_{r} e k_{i}.
Escrevemos k=|k|e^{i\varphi}=k_{r}+ik_{i}. Uma maneira padrão de extrair k_{r} e k_{i} é escrever (1+iQ)^{1/2}=u+iv e resolver por u e v.
  1. Seja (u+iv)^{2}=1+iQ. Então
u^{2}-v^{2}+i(2uv)=1+iQ.
Igualando parte real e imaginária:
u^{2}-v^{2}=1,\qquad 2uv=Q.
  1. Somando e subtraindo para obter u^{2} e v^{2}. Calcule u^{2}+v^{2} usando (u^{2}-v^{2})^{2}+(2uv)^{2}=(u^{2}+v^{2})^{2}:
(u^{2}+v^{2})^{2}=1^{2}+Q^{2}=1+Q^{2}.
Portanto
u^{2}+v^{2}=\sqrt{1+Q^{2}}.
  1. Agora resolvemos para u^{2} e v^{2}:
u^{2}=\frac{(u^{2}+v^{2})+(u^{2}-v^{2})}{2}=\frac{\sqrt{1+Q^{2}}+1}{2},
v^{2}=\frac{(u^{2}+v^{2})-(u^{2}-v^{2})}{2}=\frac{\sqrt{1+Q^{2}}-1}{2}.
  1. Tomando raízes positivas (escolha do ramo da raiz quadrada tal que para Q\ge0 v\ge0):
u=\left(\frac{\sqrt{1+Q^{2}}+1}{2}\right)^{1/2},\qquad v=\left(\frac{\sqrt{1+Q^{2}}-1}{2}\right)^{1/2}.
  1. Lembrando que k=\dfrac{n\omega}{c}(u+iv), obtemos as componentes real e imaginária:
k_{r}=\frac{n\omega}{c}u=\frac{n\omega}{c}\left(\frac{\sqrt{1+Q^{2}}+1}{2}\right)^{1/2},
k_{i}=\frac{n\omega}{c}v=\frac{n\omega}{c}\left(\frac{\sqrt{1+Q^{2}}-1}{2}\right)^{1/2}.
Colocando um fator \sqrt{2} no denominador para ficar na forma pedida:
k_{r}=\frac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}+1\big)^{1/2},\qquad k_{i}=\frac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}-1\big)^{1/2}.

Passo 8

Determinação de \vec{B} a partir da lei de Faraday para as ondas planas (item d).
Partimos de
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Para \vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, o operador \vec{\nabla}\times atua como i\vec{k}\times. E \dfrac{\partial}{\partial t} atua como -i\omega. Substituindo:
i\vec{k}\times\vec{E}= -(-i\omega)\vec{B}=i\omega\vec{B}.
Cancelando o fator i (não é zero) temos
\vec{k}\times\vec{E}=\omega\vec{B}.
Isolando \vec{B}:
\vec{B}=\frac{1}{\omega}\,\vec{k}\times\vec{E}.
Agora escrevemos \vec{k}=k\widehat{k}=|k|e^{i\varphi}\widehat{k}. Então
\vec{k}\times\vec{E}=|k|e^{i\varphi}(\widehat{k}\times\vec{E}).
Logo
\vec{B}=\frac{|k|}{\omega}(\widehat{k}\times\vec{E})\,e^{i\varphi},
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 9

Razão entre amplitudes |\vec{B}|/|\vec{E}| (item e).
Da equação do passo anterior temos, em módulo,
\frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{|k|}{\omega}\,\frac{|\widehat{k}\times\vec{E}|}{|\vec{E}|}.
Para ondas eletromagnéticas planas em meios lineares e homogêneos a componente elétrica é transverse à direção de propagação, isto é \widehat{k}\cdot\vec{E}=0. Assim |\widehat{k}\times\vec{E}|=|\vec{E}|. Portanto
\frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{|k|}{\omega}.
Usando a expressão de |k| do passo 6,
|k|=\frac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4},
obtemos
\frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{n}{c}(1+Q^{2})^{1/4},
como solicitado.

Resposta

a) \displaystyle \vec{\nabla}^{2}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}=\frac{n^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}+\mu \sigma \frac{\partial}{\partial t}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}.
b) \displaystyle k=\frac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}=|k|e^{i\varphi}, com \displaystyle Q=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon},\; |k|=\frac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4},\; \varphi=\frac{1}{2}\arctan(Q).
c) \displaystyle k=k_{r}+ik_{i}, com
\displaystyle k_{r}=\frac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}+1\big)^{1/2},\qquad k_{i}=\frac{n\omega}{\sqrt{2}\,c}\big(\sqrt{1+Q^{2}}-1\big)^{1/2}.
d) \displaystyle \vec{B}=\frac{|k|}{\omega}(\widehat{k}\times\vec{E})\,e^{i\varphi}.
e) \displaystyle \frac{|\vec{B}|}{|\vec{E}|}=\frac{n}{c}\big(1+Q^{2}\big)^{1/4}.

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