8-Seja um meio linear, isotrópico e homogêneo de permissividade e permeabilidade relativas \varepsilon_{r}=\varepsilon / \varepsilon_{o} e \mu_{r}=\mu / \mu_{o}, respectivamente, e condutividade \sigma, onde n é o índice de refração do meio. Na ausência de cargas (\rho=0) e correntes (\vec{J}=0). a) Usando as equações de Maxwell, mostre que os campos elétrico \vec{E}(\vec{r}, t) e magnético \vec{H}(\vec{r}, t) satisfazem a equação de onda generalizada:
b) Assumindo soluções de ondas planas: \vec{E}(\vec{r}, t)=\vec{E}_{o} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)} e \vec{H}(\vec{r}, t)=\vec{H}_{o} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)} na equação acima, mostre que o vetor de onda \vec{k}=k \widehat{k} é um número complexo onde o seu módulo é dado por
k=\frac{n w}{c}(1+i Q)^{1 / 2}=|k| e^{i \varphi},
onde n=\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}} é o índice de refração do meio, Q=\frac{\sigma}{w \varepsilon},|k|=\frac{n w}{c}\left(1+Q^{2}\right)^{1 / 4} e \varphi=\frac{1}{2} \arctan (Q).
c) Mostre que, podemos reescrever o módulo do vetor de onda na seguinte forma complexa:
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Dado:
Meio linear, isotrópico e homogêneo com permissividade absoluta \varepsilon\), permeabilidade absoluta \(\mu\) e condutividade \(\sigma\).
- Permissividade relativa \(\varepsilon_{r}=\varepsilon/\varepsilon_{0}\) e permeabilidade relativa \(\mu_{r}=\mu/\mu_{0}\).
- Índice de refração \(n=\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}\).
- Não há cargas livres macroscópicas: \(\rho=0\).
- Há corrente de condução dada pelas leis constitutivas (corrente de condução): \(\vec{J}=\sigma\vec{E}\).
- Equações de Maxwell (forma diferencial) válidas no meio:
\[\begin{cases} \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\[6pt] \vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}+\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t},\\[6pt] \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho=0,\\[6pt] \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. \end{cases}
Leis constitutivas do meio linear, isotrópico e homogêneo:
b) Assumindo ondas planas \vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} e \vec{H}=\vec{H}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, mostrar que \vec{k}=k\widehat{k} é complexo com
k=\frac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}=|k|e^{i\varphi},
onde Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}, |k|=\dfrac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4} e \varphi=\dfrac{1}{2}\arctan(Q).
c) Mostrar que k=k_{r}+ik_{i} com
Derivação da equação de onda para \vec{E}.
Vamos começar das equações de Maxwell e aplicar identidade vetorial e as leis constitutivas. Passo a passo, explicando cada escolha.
Derivação análoga para \vec{H}.
Explico o procedimento: para obter a equação de onda para \vec{H} tomamos o rotor da equação de Ampère-Maxwell e repetimos o raciocínio trocando papéis de \vec{E} e \vec{H}.
Manipulação para obter k=\dfrac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}.
Queremos escrever a segunda parcela em termos do parâmetro adimensional Q=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}. Observe que
Obter as componentes real e imaginária k_{r} e k_{i}.
Escrevemos k=|k|e^{i\varphi}=k_{r}+ik_{i}. Uma maneira padrão de extrair k_{r} e k_{i} é escrever (1+iQ)^{1/2}=u+iv e resolver por u e v.
Seja (u+iv)^{2}=1+iQ. Então
u^{2}-v^{2}+i(2uv)=1+iQ.
Igualando parte real e imaginária:
u^{2}-v^{2}=1,\qquad 2uv=Q.
Somando e subtraindo para obter u^{2} e v^{2}. Calcule u^{2}+v^{2} usando (u^{2}-v^{2})^{2}+(2uv)^{2}=(u^{2}+v^{2})^{2}:
Para \vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, o operador \vec{\nabla}\times atua como i\vec{k}\times. E \dfrac{\partial}{\partial t} atua como -i\omega. Substituindo:
Para ondas eletromagnéticas planas em meios lineares e homogêneos a componente elétrica é transverse à direção de propagação, isto é \widehat{k}\cdot\vec{E}=0. Assim |\widehat{k}\times\vec{E}|=|\vec{E}|. Portanto
a) \displaystyle \vec{\nabla}^{2}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}=\frac{n^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}+\mu \sigma \frac{\partial}{\partial t}\binom{\vec{E}}{\vec{H}}.
b) \displaystyle k=\frac{n\omega}{c}(1+iQ)^{1/2}=|k|e^{i\varphi}, com \displaystyle Q=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon},\; |k|=\frac{n\omega}{c}(1+Q^{2})^{1/4},\; \varphi=\frac{1}{2}\arctan(Q).