12-Para uma onda plana monocromática em um meio condutor
\vec{B}=\frac{\widetilde{n}}{c}(\widehat{k} \times \vec{E})
onde \widetilde{n} é o índice de refração complexo definido no problema 6. Suponha que o campo elétrico \vec{E} é elipticamente polarizado, com \vec{E}(\vec{r}, t)=E_{x}(\vec{r}, t) e^{i \theta} \widehat{x}+E_{y}(\vec{r}, t) \widehat{y}, onde \theta é um número real, está se propagando na direção do eixo z. Prove que em cada instante de tempo
\operatorname{Re}(\vec{E}) \cdot \operatorname{Re}(\vec{B})=-\frac{n_{i}}{c} E_{x} E_{y} \sin (\theta)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado que
\vec{B}=\frac{\widetilde{n}}{c}(\widehat{k}\times\vec{E}),
onde \widetilde{n} é o índice de refração complexo (vou escrever \widetilde{n}=n_{r}+i n_{i} com n_{r},n_{i} reais).
  • O campo elétrico é elipticamente polarizado e está escrito como
\vec{E}(\vec{r},t)=E_{x}(\vec{r},t)e^{i\theta}\,\widehat{x}+E_{y}(\vec{r},t)\,\widehat{y},
onde \theta é real e a onda se propaga ao longo do eixo z (logo \widehat{k}=\widehat{z}).
  • O enunciado pede para provar que, em cada instante de tempo,
\operatorname{Re}(\vec{E})\cdot\operatorname{Re}(\vec{B})=-\frac{n_{i}}{c}E_{x}E_{y}\sin(\theta).
Observações que vou assumir (o enunciado permite isso): E_{x} e E_{y} são amplitudes reais (ou, equivalentemente, os módulos das componentes) e ambas as componentes compartilham o mesmo fator de fase espacial-temporal comum que chamo de e^{i\Phi(\vec{r},t)}. Não pedirei nada além disso e seguirei com a demonstração.

Passo 2

Primeiro calculemos explicitamente o produto vetorial \widehat{k}\times\vec{E}. Como a propagação é ao longo de z, temos \widehat{k}=\widehat{z} e as regras das bases cartesianas dão
\widehat{z}\times\widehat{x}=\widehat{y},\qquad \widehat{z}\times\widehat{y}=-\widehat{x}.
Se fatorarmos o fator de fase comum e^{i\Phi(\vec{r},t)} (ou seja, escrever \vec{E}=(E_{x}e^{i\theta}\widehat{x}+E_{y}\widehat{y})e^{i\Phi}), então
\widehat{z}\times\vec{E}=\big(E_{x}e^{i\theta}(\widehat{z}\times\widehat{x})+E_{y}(\widehat{z}\times\widehat{y})\big)e^{i\Phi} = \big(E_{x}e^{i\theta}\widehat{y}-E_{y}\widehat{x}\big)e^{i\Phi}.
Multiplicando por \widetilde{n}/c obtemos a expressão complexa para \vec{B} (antes de tomar a parte real):
\vec{B}=\frac{\widetilde{n}}{c}\big(-E_{y}\widehat{x}+E_{x}e^{i\theta}\widehat{y}\big)e^{i\Phi}.

Passo 3

Agora vamos escrever as partes reais de \vec{E} e \vec{B}. Com o fator de fase \Phi(\vec{r},t) real (função real do espaço e tempo), as componentes reais de \vec{E} são
\operatorname{Re}(\vec{E})=E_{x}\cos(\Phi+\theta)\,\widehat{x}+E_{y}\cos(\Phi)\,\widehat{y}.
Para \vec{B} usamos \widetilde{n}=n_{r}+i n_{i} e a regra que, para números complexos a=n_{r}+in_{i} e v, vale
\operatorname{Re}(a v)=n_{r}\operatorname{Re}(v)-n_{i}\operatorname{Im}(v).
Aplicando isso às componentes (lembrando que -E_{y}e^{i\Phi} e E_{x}e^{i(\Phi+\theta)} são os fatores complexos das componentes de \vec{B} antes de multiplicar por \widetilde{n}/c), obtemos
\operatorname{Re}(B_{x})=\frac{1}{c}\big(-n_{r}E_{y}\cos\Phi + n_{i}E_{y}\sin\Phi\big),
\operatorname{Re}(B_{y})=\frac{1}{c}\big(n_{r}E_{x}\cos(\Phi+\theta) - n_{i}E_{x}\sin(\Phi+\theta)\big).
Portanto
\operatorname{Re}(\vec{B})=\frac{1}{c}\Big(\big(-n_{r}E_{y}\cos\Phi + n_{i}E_{y}\sin\Phi\big)\widehat{x}+\big(n_{r}E_{x}\cos(\Phi+\theta) - n_{i}E_{x}\sin(\Phi+\theta)\big)\widehat{y}\Big).

Passo 4

Calculemos o produto escalar \operatorname{Re}(\vec{E})\cdot\operatorname{Re}(\vec{B}) somando as contribuições x e y:
\begin{aligned} \operatorname{Re}(\vec{E})\cdot\operatorname{Re}(\vec{B}) &=E_{x}\cos(\Phi+\theta)\cdot\operatorname{Re}(B_{x}) + E_{y}\cos\Phi\cdot\operatorname{Re}(B_{y})\\[6pt] &=\frac{E_{x}E_{y}}{c}\Big\{\cos(\Phi+\theta)\big(-n_{r}\cos\Phi + n_{i}\sin\Phi\big)+\cos\Phi\big(n_{r}\cos(\Phi+\theta)-n_{i}\sin(\Phi+\theta)\big)\Big\}. \end{aligned}]

Passo 5

Observe que os termos com n_{r} se cancelam: o primeiro contém -n_{r}\cos(\Phi+\theta)\cos\Phi e o segundo +n_{r}\cos\Phi\cos(\Phi+\theta); portanto o termo proporcional a n_{r} soma zero. Restam os termos com n_{i}:
\operatorname{Re}(\vec{E})\cdot\operatorname{Re}(\vec{B}) =\frac{E_{x}E_{y}n_{i}}{c}\Big\{\cos(\Phi+\theta)\sin\Phi-\cos\Phi\sin(\Phi+\theta)\Big\}.

Passo 6

A expressão trigonométrica entre chaves é uma identidade conhecida. Usando
\sin X\cos Y-\cos X\sin Y=\sin(X-Y),
com X=\Phi e Y=\Phi+\theta obtemos
\cos(\Phi+\theta)\sin\Phi-\cos\Phi\sin(\Phi+\theta)=\sin\big(\Phi-(\Phi+\theta)\big)=\sin(-\theta)=-\sin\theta.
Substituindo na expressão anterior:
\operatorname{Re}(\vec{E})\cdot\operatorname{Re}(\vec{B}) =\frac{E_{x}E_{y}n_{i}}{c}\big(-\sin\theta\big)=-\frac{n_{i}}{c}E_{x}E_{y}\sin\theta.

Passo 7

Conclusão: mostramos exatamente a identidade pedida, e notamos algo legal — o resultado final não depende de \Phi(\vec{r},t): o produto escalar instantâneo das partes reais elimina a fase comum e depende apenas da parte imaginária do índice de refração n_{i}, das amplitudes E_{x},E_{y} e da defasagem \theta. Vai por mim: no exame essa simplificação costuma salvar tempo!

Resposta

-\dfrac{n_{i}}{c}E_{x}E_{y}\sin(\theta)

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