12-Para uma onda plana monocromática em um meio condutor
onde
é o índice de refração complexo definido no problema 6. Suponha que o campo elétrico
é elipticamente polarizado, com
, onde
é um número real, está se propagando na direção do eixo z. Prove que em cada instante de tempo
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado que
onde
é o índice de refração complexo (vou escrever
com
reais).
- O campo elétrico é elipticamente polarizado e está escrito como
onde
é real e a onda se propaga ao longo do eixo
(logo
).
- O enunciado pede para provar que, em cada instante de tempo,
Observações que vou assumir (o enunciado permite isso):
e
são amplitudes reais (ou, equivalentemente, os módulos das componentes) e ambas as componentes compartilham o mesmo fator de fase espacial-temporal comum que chamo de
. Não pedirei nada além disso e seguirei com a demonstração.
Passo 2
Primeiro calculemos explicitamente o produto vetorial
. Como a propagação é ao longo de
, temos
e as regras das bases cartesianas dão
Se fatorarmos o fator de fase comum
(ou seja, escrever
), então
Multiplicando por
obtemos a expressão complexa para
(antes de tomar a parte real):
Passo 3
Agora vamos escrever as partes reais de
e
. Com o fator de fase
real (função real do espaço e tempo), as componentes reais de
são
Para
usamos
e a regra que, para números complexos
e
, vale
Aplicando isso às componentes (lembrando que
e
são os fatores complexos das componentes de
antes de multiplicar por
), obtemos
Portanto
Passo 4
Calculemos o produto escalar
somando as contribuições
e
:
Passo 5
Observe que os termos com
se cancelam: o primeiro contém
e o segundo
; portanto o termo proporcional a
soma zero. Restam os termos com
:
Passo 6
A expressão trigonométrica entre chaves é uma identidade conhecida. Usando
com
e
obtemos
Substituindo na expressão anterior:
Passo 7
Conclusão: mostramos exatamente a identidade pedida, e notamos algo legal — o resultado final não depende de
: o produto escalar instantâneo das partes reais elimina a fase comum e depende apenas da parte imaginária do índice de refração
, das amplitudes
e da defasagem
. Vai por mim: no exame essa simplificação costuma salvar tempo!