Demonstre a fórmula A=12 r^2 theta para a área de um setor circular com raio r e ângulo central theta. [Dica: Suponha que 0<theta<pi / 2 e coloque o centro do círculo na origem, assim ele terá a equação x^2+y^2=r^2. Então A é a soma da área do triângulo P O Q e a área da região P Q R na figura.]

Passo 1

O enunciado pede que a gente demonstre a fórmula da área de um setor circular de raio r e ângulo central theta. Em vez de usar geometria complicada, vamos adotar coordenadas polares, pois nesse sistema o elemento de área se ajusta naturalmente a regiões circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares, um ponto qualquer do plano é dado por (rho,varphi), com
x=rhocosvarphi, y=rhosinvarphi
e o elemento de área é
dA=rho,drho,dvarphi

Passo 3

O setor de raio r e ângulo theta corresponde ao domínio
0<=rho<= r, 0<=varphi<=theta
Logo a área A desse setor é a integral dupla
A=integralvarphi=0^thetaintegralrho=0^rrho,drho,dvarphi

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^rrho,drho =rho^22|0^r =r^22
Substituindo na integral em varphi, temos
A=integral0^thetar^22,dvarphi =r^22,varphi|0^theta =r^2theta2

Resposta

A=12r^2theta.

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