10 Determine o perfil de velocidade que se estabelece em um duto circular de raio r, no escoamento de um fluido Stokeniano, de massa específica
constante e viscosidade
, sujeito a um gradiente de pressão constante na direção contrária ao escoamento.
Passo 1
O enunciado pede o perfil de velocidade num duto cilíndrico de raio
(levando o escoamento na direção
) para um fluido newtoniano de massa específica constante
e viscosidade
, submetido a um gradiente de pressão constante
que atua contra o escoamento.
Conteúdo: usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, incompressível e plenamente desenvolvido, em coordenadas cilíndricas.
Conteúdo: usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, incompressível e plenamente desenvolvido, em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Hipóteses simplificadoras para fluxo plenamente desenvolvido e axisimétrico sem componentes radial ou azimutal:
– velocidade , dependente só do raio
;
– escoamento permanente ( ) e sem variação axial do perfil (
);
– incompressível e sem forças de volume.
Nessas condições, a componente da equação de momento reduz-se a
– velocidade
– escoamento permanente (
– incompressível e sem forças de volume.
Nessas condições, a componente
Passo 3
Defina o gradiente
(constante). A equação fica
Multiplique por
e integre em
:
Como
deve ser finito em
, forçamos
. Logo
Passo 4
Integre mais uma vez para obter
:
Pela condição de não-deslizamento na parede (
), temos