10 Determine o perfil de velocidade que se estabelece em um duto circular de raio r, no escoamento de um fluido Stokeniano, de massa específica \rho constante e viscosidade \mu, sujeito a um gradiente de pressão constante na direção contrária ao escoamento.

Passo 1

O enunciado pede o perfil de velocidade num duto cilíndrico de raio R (levando o escoamento na direção z) para um fluido newtoniano de massa específica constante \rho e viscosidade \mu, submetido a um gradiente de pressão constante \dfrac{dp}{dz} que atua contra o escoamento.
Conteúdo: usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, incompressível e plenamente desenvolvido, em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Hipóteses simplificadoras para fluxo plenamente desenvolvido e axisimétrico sem componentes radial ou azimutal:
– velocidade \mathbf{v}=(0,0,v_z(r)), dependente só do raio r;
– escoamento permanente ( \partial/\partial t=0) e sem variação axial do perfil ( \partial v_z/\partial z=0);
– incompressível e sem forças de volume.
Nessas condições, a componente z da equação de momento reduz-se a
0 = -\frac{dp}{dz} + \mu\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dv_z}{dr}\Bigr).

Passo 3

Defina o gradiente G=\dfrac{dp}{dz} (constante). A equação fica
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dv_z}{dr}\Bigr) \;=\;\frac{G}{\mu}.
Multiplique por r e integre em r:
\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dv_z}{dr}\Bigr) = \frac{G}{\mu}\,r \quad\Longrightarrow\quad r\,\frac{dv_z}{dr} = \frac{G}{2\mu}\,r^2 + C_1.
Como v_z(r) deve ser finito em r=0, forçamos C_1=0. Logo
\frac{dv_z}{dr} = \frac{G}{2\mu}\,r.

Passo 4

Integre mais uma vez para obter v_z(r):
v_z(r) = \int \frac{G}{2\mu}\,r\,dr = \frac{G}{4\mu}\,r^2 + C_2.
Pela condição de não-deslizamento na parede ( v_z(R)=0), temos
0 = \frac{G}{4\mu}\,R^2 + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\frac{G}{4\mu}\,R^2.

Resposta

v_z(r) = \frac{G}{4\mu}\bigl(r^2 - R^2\bigr) = -\,\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dz}\,\bigl(R^2 - r^2\bigr).

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