9 Lembre-se da taxa de deformação volumétrica. Em coordenadas cartesianas
Mostre que a taxa de deformação volumétrica é zero para um escoamento incompressível. Discuta a interpretação física da taxa de deformação volumétrica para escoamentos incompressíveis e compressíveis.
Passo 1
O enunciado nos lembra que a taxa de deformação volumétrica de um elemento de volume
é dada em coordenadas cartesianas por
O objetivo é mostrar que, para um escoamento incompressível, essa quantidade vale zero, e discutir seu significado físico em escoamentos incompressíveis e compressíveis.
Passo 2
A continuidade de massa para um fluido newtoniano e não reativo é expressa pela equação
onde
é a densidade e
é o vetor-velocidade. Em coordenadas cartesianas,
.
Passo 3
Definimos escoamento incompressível como aquele em que a densidade de cada partícula de fluido não varia ao longo de sua trajetória, ou seja,
Substituindo na equação de continuidade
Passo 4
Comparando com a expressão da taxa de deformação volumétrica, vemos que
para escoamentos incompressíveis. Assim, a taxa de deformação volumétrica é nula.
Passo 5
Interpretação física:
– Para escoamentos incompressíveis,
significa que cada elemento de fluido conserva seu volume ao se deformar; não há dilatação nem contração volumétrica, apenas variações de forma (deformação de cisalhamento).
– Para escoamentos compressíveis, indica que o fluido local se expande (
) ou se comprime (
), alterando sua densidade e volume de cada elemento.
– Para escoamentos compressíveis,
Resposta
Em escoamentos incompressíveis não há variação de volume dos elementos de fluido; em escoamentos compressíveis a divergência da velocidade quantifica a taxa de expansão ou contração volumétrica.