9 Lembre-se da taxa de deformação volumétrica. Em coordenadas cartesianas
\frac{1}{V} \frac{D V}{D t}=\varepsilon_{x x}+\varepsilon_{y y}+\varepsilon_{z z}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}
Mostre que a taxa de deformação volumétrica é zero para um escoamento incompressível. Discuta a interpretação física da taxa de deformação volumétrica para escoamentos incompressíveis e compressíveis.

Passo 1

O enunciado nos lembra que a taxa de deformação volumétrica de um elemento de volume V é dada em coordenadas cartesianas por
\frac{1}{V}\,\frac{DV}{Dt} =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
O objetivo é mostrar que, para um escoamento incompressível, essa quantidade vale zero, e discutir seu significado físico em escoamentos incompressíveis e compressíveis.

Passo 2

A continuidade de massa para um fluido newtoniano e não reativo é expressa pela equação
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{v} = 0,
onde \rho é a densidade e \mathbf{v}=(u,v,w) é o vetor-velocidade. Em coordenadas cartesianas, \nabla\cdot\mathbf{v}=\partial u/\partial x+\partial v/\partial y+\partial w/\partial z.

Passo 3

Definimos escoamento incompressível como aquele em que a densidade de cada partícula de fluido não varia ao longo de sua trajetória, ou seja,
\frac{D\rho}{Dt}=0.
Substituindo na equação de continuidade
0 + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 4

Comparando com a expressão da taxa de deformação volumétrica, vemos que
\frac{1}{V}\,\frac{DV}{Dt} =\nabla\cdot\mathbf{v} =0
para escoamentos incompressíveis. Assim, a taxa de deformação volumétrica é nula.

Passo 5

Interpretação física:
– Para escoamentos incompressíveis, \nabla\cdot\mathbf{v}=0 significa que cada elemento de fluido conserva seu volume ao se deformar; não há dilatação nem contração volumétrica, apenas variações de forma (deformação de cisalhamento).
– Para escoamentos compressíveis, \nabla\cdot\mathbf{v}\neq0 indica que o fluido local se expande ( \nabla\cdot\mathbf{v}>0) ou se comprime ( \nabla\cdot\mathbf{v}<0), alterando sua densidade e volume de cada elemento.

Resposta

\frac{1}{V}\,\frac{DV}{Dt} =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} =0 \quad\text{(escoamento incompressível).}í
Em escoamentos incompressíveis não há variação de volume dos elementos de fluido; em escoamentos compressíveis a divergência da velocidade quantifica a taxa de expansão ou contração volumétrica.

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