11 No escoamento de Poiseuille, determine a diferença de pressão necessária para escoar uma vazão
de um fluido Stokeniano, de massa específica
e viscosidade
, atraves de uma canalização de diametro D e comprimento L .
Passo 1
O enunciado pede a diferença de pressão
necessária para obter uma vazão volumétrica
num escoamento de Poiseuille (laminar, totalmente desenvolvido e estável) de um fluido Newtoniano (stokeniano) de viscosidade
, massa específica
irrelevante aqui (inércia desprezível), através de um tubo cilíndrico de comprimento
e diâmetro
. Para resolver, vamos usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, axisimétrico e sem variação axial do perfil de velocidade.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, para escoamento somente na direção axial
, a equação de momento reduz-se a
onde
é a velocidade axial e
é constante (gradiente de pressão).
Passo 3
Integramos a equação duas vezes em
. Primeiro, note que
é negativo para
; escrevemos
A solução geral da ODE é
Impondo condições de contorno: (i)
finita em
e (ii)
com
, obtemos
Passo 4
A vazão volumétrica
é a integral do perfil de velocidade sobre a seção reta:
Passo 5
Calculando a integral:
Passo 6
Isolando
: