11 No escoamento de Poiseuille, determine a diferença de pressão necessária para escoar uma vazão Q de um fluido Stokeniano, de massa específica \rho e viscosidade \mu, atraves de uma canalização de diametro D e comprimento L .

Passo 1

O enunciado pede a diferença de pressão \Delta p necessária para obter uma vazão volumétrica Q num escoamento de Poiseuille (laminar, totalmente desenvolvido e estável) de um fluido Newtoniano (stokeniano) de viscosidade \mu, massa específica \rho irrelevante aqui (inércia desprezível), através de um tubo cilíndrico de comprimento L e diâmetro D. Para resolver, vamos usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente, axisimétrico e sem variação axial do perfil de velocidade.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, para escoamento somente na direção axial z, a equação de momento reduz-se a
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{du}{dr}\Bigr) =\frac{1}{\mu}\,\frac{dp}{dz},
onde u(r) é a velocidade axial e dp/dz é constante (gradiente de pressão).

Passo 3

Integramos a equação duas vezes em r. Primeiro, note que dp/dz é negativo para \Delta p=p_{\rm entrada}-p_{\rm saída}>0í; escrevemos
\frac{dp}{dz}=-\frac{\Delta p}{L}.
A solução geral da ODE é
u(r) =\frac{1}{4\mu}\,\frac{dp}{dz}\,\bigl(r^2 + C_1\bigr)+C_2.
Impondo condições de contorno: (i) u finita em r=0 e (ii) u(R)=0 com R=D/2, obtemos
u(r) =\frac{\Delta p}{4\mu\,L}\,(R^2 - r^2).

Passo 4

A vazão volumétrica Q é a integral do perfil de velocidade sobre a seção reta:
Q = \int_{0}^{R} 2\pi\,r\,u(r)\,dr =2\pi\int_{0}^{R}r\frac{\Delta p}{4\mu\,L}(R^2 - r^2)\,dr.

Passo 5

Calculando a integral:
Q =\frac{\pi\,\Delta p}{2\mu\,L} \int_{0}^{R}\bigl(R^2r - r^3\bigr)dr =\frac{\pi\,\Delta p}{2\mu\,L} \Bigl[\tfrac{R^2r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{R} =\frac{\pi\,\Delta p\,R^4}{8\mu\,L}.

Passo 6

Isolando \Delta p:
\Delta p =\frac{8\mu\,L\,Q}{\pi\,R^4} =\frac{8\mu\,L\,Q}{\pi\,(D/2)^4} =\frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,D^4}.

Resposta

\boxed{\Delta p = \frac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,D^4}.}

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